河南省南阳地区2021-2022学年高一数学3月阶段检测试卷

试卷更新日期：2022-04-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {- 1 ， - \frac{1}{4} ， 0 ， 1 ， 4}$ ， $B = {y | y = 4^{x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 4}$ B、 ${0 ， 1 ， 4}$ C、 ${- \frac{1}{4} ， 0 ， 1 ， 4}$ D、 ${- 1 ， - \frac{1}{4} ， 0 ， 1 ， 4}$

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2. “ $| x | = | y |$ ”是“ $x = y$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∕ ∕ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∕ ∕ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∕ ∕ \vec{c}$ B、长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量 C、相等向量的起点必定相同 D、若 $| \vec{a} | = 7$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$

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4. 若 $c o s α t a n α < 0$ ，且 $s i n α c o s α < 0$ ，则 $α$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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5. 已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{s i n | x |}{x^{2} - 1}$ B、 $f (x) = \frac{s i n x}{x^{2} - 1}$ C、 $f (x) = \frac{s i n x}{x^{2} + 1}$ D、 $f (x) = \frac{s i n | x |}{x^{2} + 1}$

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6. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $2 a + 5 b = 10$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、2 B、5 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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7. 八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则 $\vec{O A} - \vec{E D} =$ （）

A、 $\vec{O D}$ B、 $\vec{D O}$ C、 $\vec{D A}$ D、 $\vec{A D}$

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8. 已知 $α$ 为锐角，且 $c o s 2 α = s i n (α + \frac{2 π}{3})$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 已知一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{10}$ 的标准差为2，将这组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{10}$ 中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（）

A、2 B、4 C、6 D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ ， $f (x) \geq f (\frac{11 π}{12})$ 恒成立，且 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $- s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$ C、 $s i n (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $s i n (2 x + \frac{π}{6})$

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11. 已知函数 $f (x) = 3^{x - 2} + 3^{- x + 2} + a c o s π x$ 只有一个零点，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、-1 D、-2

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12. 已知函数 $f (x) = c o s (s i n x)$ ，现给出下列四个结论：
① $f (x)$ 为偶函数；② $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；③ $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增；④ $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 在 $[0 ， π]$ 内有2个解．
其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知某扇形的圆心角为108°，则该扇形圆心角的弧度数为．

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14. 在区间 $(0 ， π)$ 内，函数 $y = t a n x$ 与 $y = c o s x$ 图象的交点个数为．

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15. 某农户要种植甲、乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5，0.6，移栽后成活的概率分别为0.6，0.8，则恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为．

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16. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{3})$ ，若 $x_{1} x_{2} < 0$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，则 $| x_{2} - x_{1} |$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (3 a ， 4 a) (a < 0)$ ．

(1)、求 $s i n θ$ 的值；

(2)、求 $s i n (\frac{3 π}{2} - θ) + c o s (θ - π)$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = c o s (x - \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、求不等式 $f (x) ≥ \frac{1}{2}$ 的解集．

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19. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会于2022年2月4日开幕，北京也就此成为全球唯一一座既举办过夏季奥运会又举办冬季奥运会的城市．为做好本次奥运会的服务工作，需从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核，根据学生考核成绩分为A，B，C，D四个等级，最终的考核情况如下表：
等级
A
B
C
D
人数
10
30
40
20

(1)、将频率视为概率，从报名的100名学生中随机抽取1名，求其成绩等级为A的概率；

(2)、从报名的100名学生中，根据考核情况利用分层抽样法抽取10名学生，再从这10名学生中选取2人进行座谈会，求这2人成绩等级相同的概率．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 ω x - \frac{π}{6})$ ， $x_{1} ， x_{2}$ 是函数 $y = f (x)$ 与直线 $y = 2$ 的两个交点的横坐标，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $π$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [\frac{π}{2} ， m]$ ， $f (x)$ 的值域是 $[- 2 ， 1]$ ，求m的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ - \frac{π}{6}) (0 < φ < π)$ 为偶函数．

(1)、求 $f (x)$ 图象的对称中心的坐标．

(2)、将 $f (x)$ 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 $A (A > 1)$ 倍，横坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象．若对任意的 $x_{1} \in [\frac{π}{6} ， \frac{3 π}{4}]$ ，总存在 $x_{2} \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求A的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} + 8 - a^{2}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的最小值为4，求a的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上有零点，求a的取值范围．

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等级	A	B	C	D
人数	10	30	40	20