河南省洛阳市强基联盟2021-2022学年高一下学期数学3月大联考试卷

试卷更新日期：2022-04-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列说法错误的是（）

A、向量 $\vec{C D}$ 与向量 $\vec{D C}$ 长度相等 B、单位向量都相等 C、向量的模可以比较大小 D、任一非零向量都可以平行移动

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2. 已知 $(1 - i) z = 2$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在 $△ A B C$ 中，已知 $\sqrt{3} A C = \sqrt{2} B C$ ，且 $A = \frac{π}{3}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{7 π}{12}$

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4. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，则“ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. $\frac{\sqrt{2} + i^{7}}{1 + \sqrt{2} i} =$ （）

A、 $i$ B、1 C、 $- i$ D、-1

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6. $△ A B C$ 中，“ $\sin A = \frac{1}{2}$ ”是“ $A = \frac{π}{6}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45 °$ ， $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $| 3 \vec{a} + \vec{b} |$ 等于（）．

A、 $13 + 6 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{30}$ D、 $\sqrt{34}$

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8. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1) ， \vec{b} = (λ ， 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 4) ∪ (4 ， + ∞)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(- ∞ ， - 4) ∪ (- 4 ， 1)$ D、 $(- 4 ， 1)$

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9. 若三角形的三边长分别是 $5 ， 6 ， 8$ ，则这个三角形的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

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10. 如图所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $C E$ 的中点，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

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11. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $E$ 在 $B D$ 上，且 $A E ⊥ B D$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{E C} =$ （）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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12. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 8 ， b = 6 ， c = 4$ ，则中线 $A D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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二、填空题

13. 计算： $| \frac{3 + i}{1 - i} | =$ .

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14. 在△ $A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，其面积 $S = \frac{1}{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ，则 $t a n B =$

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15. 设向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1) ， \vec{b} = (0 ， 2)$ ，则以下结论正确的是.（填序号）
① $(2 \vec{a} - \vec{b})$ $∥$ $\vec{b}$ ；
② $| \vec{a} | = \sqrt{2} | \vec{b} |$ ；
③与向量 $\vec{b}$ 方向相同的单位向量的坐标为 $(0 ， 1)$ ；
④向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量坐标为 $(- 1 ， 1)$ .

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16. 如图，冠豸山上原有一条笔直的山路 $B C$ ，现在又新架设了一条索道 $A C$ ，小李在山脚 $B$ 处看索道 $A C$ ，测得张角 $∠ A B C = 12 0^{∘}$ ；从 $B$ 处攀登4千米到达 $D$ 处，回头看索道 $A C$ ，测得张角 $∠ A D C = 15 0^{∘}$ ；从 $D$ 处再攀登8千米方到达 $C$ 处，则索道 $A C$ 的长为千米.

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a = 2 \sqrt{2} ， A = 4 5^{0} ， B = 3 0^{0}$ ，解三角形.

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18.

(1)、解方程 $x^{2} + | x | = 0 (x \in C)$ ；

(2)、已知 $- 3 + 2 i$ 是方程 $2 x^{2} + p x + q = 0 (p ， q \in R)$ 的一个根，求实数 $p ， q$ 的值.

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19. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 2 ， \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 6$ .

(1)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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20. 已知点 $A (1 ， - 2) ， B (2 ， 1) ， C (3 ， 2)$ .

(1)、已知点 $D (- 2 ， 3)$ ，以 $\vec{A B} ， \vec{A C}$ 为一组基底来表示 $\vec{A D} + \vec{B D} + \vec{C D}$ ；

(2)、若 $\vec{A P} = \vec{A B} + λ \vec{A C} (λ \in R)$ ，且点 $P$ 在第四象限，求 $λ$ 的取值范围.

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， D C = \frac{3}{2} ， cos A = \frac{4}{5} ， C B$ 的垂直平分线交边 $A C$ 于点 $D$ ．

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、若 $A D > A B$ ，求 $sin ∠ A C B$ 的值．

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22. 某市一棚户区改造用地平面示意图如图所示.该区域是半径为 $R$ 的圆面，圆面的内接四边形 $A B C D$ 是原棚户区建筑用地，测量可知 $A B = A D = 4 k m ， B C = 6 k m ， C D = 2 k m$ .

(1)、求原棚户区建筑用地 $A B C D$ 中对角线 $A C$ 的长度；

(2)、请计算原棚户区建筑用地 $A B C D$ 的面积.

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