河北省邢台市名校联盟2021-2022学年高一下学期数学第二次月考试卷

试卷更新日期：2022-04-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {- 5 ， - 3 ， - 1 ， 0 ， 2 ， 4} ， A = {- 1 ， 2 ， 4} ， B = {- 5 ， 0 ， 2}$ ，则 $∁_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${- 3}$ C、 ${- 3 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 5 ， - 3 ， - 1 ， 0 ， 4}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3) ， \vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，则 $2 \vec{a} - 3 \vec{b} =$ （）

A、 $(- 8 ， 3)$ B、 $(- 8 ， - 3)$ C、 $(8 ， 3)$ D、 $(8 ， - 3)$

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3. 若复数 $z$ 满足 $(2 - i) z = i^{2022}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- \frac{2}{5} + \frac{1}{5} i$ B、 $- \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ C、 $- \frac{2}{3} - \frac{1}{3} i$ D、 $- \frac{2}{3} + \frac{1}{3} i$

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4. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $C = 3 0^{∘}$ ， $c = 10$ .如果 $△ A B C$ 有两解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[10 ， 20]$ B、 $[10 ， 10 \sqrt{3}]$ C、 $(10 ， 10 \sqrt{3})$ D、 $(10 ， 20)$

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5. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = \sqrt{2} ， c o s B = \frac{2 \sqrt{2}}{3} ， 3 s i n A = \sqrt{2} s i n C$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6. 已知 $- 2 + i$ 是关于x的方程 $2 x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，其中 $m ， n \in R$ ，则 $m + n =$ （）

A、18 B、16 C、9 D、8

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7. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D = \sqrt{3} A B$ ， $\vec{A D} = \vec{B C}$ ，且 $| \vec{A B} + \vec{A D} | = | \vec{A B} - \vec{A D} |$ ，则 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C A}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔 $19 k m$ ，速度为 $300 k m / h$ ，飞行员先在A处看到山顶的俯角为 $45 °$ ，经过 $2 m i n$ 后，又在B处看到山顶的俯角为 $75 °$ ，则山顶的海拔约为（）（结果精确到0.1，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、 $4.3 k m$ B、 $5.3 k m$ C、 $6.3 k m$ D、 $13.7 k m$

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二、多选题

9. 若 $z - \bar{z} = - 14 i ， | \bar{z} | = 5 \sqrt{2}$ ，则z可能为（）

A、 $1 - 7 i$ B、 $1 + 7 i$ C、 $- 1 - 7 i$ D、 $- 1 + 7 i$

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10. 已知一正弦电流I（单位：A）随时间t（单位：s）变化的函数 $I = A s i n (ω t + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 75 π$ B、 $φ = - \frac{π}{3}$ C、当 $t = \frac{13}{900}$ 时，电流为 $25 A$ D、当 $t \in [\frac{1}{30} ， \frac{11}{300}]$ 时，电流逐渐变大

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11. 函数 $f (x) = | x^{4} - 2 x^{2} | - l o g_{\frac{1}{2}} (- m^{2} - 2 m)$ （ $m$ 为常数）的零点个数可能为（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $A = \frac{π}{3} ， a = 3$ ，且 $\vec{B C} = 2 \vec{B D}$ ，则 $| \vec{A D} |$ 的值可能为（）

A、3 B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、2

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三、填空题

13. 写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数 $z =$ ．

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14. 已知A，B，C是平面内三个不同的点，向量 $\vec{O A} = (2 ， m) ， \vec{O B} = (3 ， 5) ， \vec{O C} = (m ， 2)$ ，且A，B，C三点共线，则 $m =$ ．

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15. 在菱形 $A B C D$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $P$ 为菱形 $A B C D$ 所在平面内的一点，则 $(\vec{A P} - \vec{A D}) \cdot (\vec{B C} + \vec{C P})$ 的最小值为．

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16. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $c o s^{2} C = s i n^{2} A + c o s^{2} B - s i n A s i n C$ ，且 $b = 6$ ，则 $B =$ ， $△ A B C$ 外接圆的面积为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = m^{2} - 2 m - 15 + (m^{2} - 9) i$ ，其中 $m \in R$ ．

(1)、若 $z$ 为实数，求 $m$ 的值；

(2)、若 $z$ 为纯虚数，求 $\frac{z}{1 + i}$ 的虚部．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， 0) ， \vec{b} = (1 ， 2) ， \vec{c} = (- 3 ， 5)$ ．

(1)、若 $\vec{e}$ 是与 $\vec{b}$ 方向相同的单位向量，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量；

(2)、若 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (\vec{b} - \vec{c})$ ，求k的值．

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19. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $b c o s C + c c o s B = \sqrt{2} a c o s A$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{2}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状.

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20. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (0) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + l o g_{2} x - 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{1}{2} ， m]$ 上的最大值．

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21. 已知向量 $\vec{a} = (s i n x ， - c o s^{2} x + \frac{1}{2}) ， \vec{b} = (2 c o s x ， 2)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 图象的对称中心；

(2)、若函数 $g (x) = m f (x) + n (m \neq 0)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的值域是 $[1 ， 7]$ ，求m，n的值．

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22. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $t a n A - t a n B = \frac{t a n B}{c o s A}$ .

(1)、证明： $A = 2 B$ .

(2)、若 $c = 4$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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