广东省十五校联盟2021-2022学年高一下学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-04-15 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. $2 \cos^{2} 22.5 ° - 1 =$ （）

A、-1 B、1 C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

查看试题解析
2. 已知平面内M，N，P三点满足 $\overset{⇀}{M N} - \overset{⇀}{P N} + \overset{⇀}{P M} = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、M，N，P是一个三角形的三个顶点 B、M，N，P是一条直线上的三个点 C、M，N，P是平面内的任意三个点 D、以上都不对

查看试题解析
3. 已知sin（ $\frac{π}{4} - x$ ） $= \frac{1}{4}$ ，则sin2x的值为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{6}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{3}{8}$

查看试题解析
4. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (- 5 ， 4)$ ， $\vec{c} = (x ， y)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $x$ 、 $y$ 可以是（）

A、 $x = 1$ ， $y = 1$ B、 $x = 0$ ， $y = 1$ C、 $x = 1$ ， $y = 0$ D、 $x = 1$ ， $y = - 1$

查看试题解析
5. 将函数 $y = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 单位后，所得图象对应的函数解析式为（）

A、 $y = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{5}{12} π)$ B、 $y = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{5}{12} π)$ C、 $y = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{12})$ D、 $y = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{12})$

查看试题解析
6. $y = (s i n x - c o s x)^{2} - 1$ 是（）

A、最小正周期为 $2 π$ 的偶函数 B、最小正周期为 $2 π$ 的奇函数 C、最小正周期为 $π$ 的偶函数 D、最小正周期为 $π$ 的奇函数

查看试题解析
7. 已知 $t a n α$ 、 $t a n β$ 是方程 $x^{2} + 3 \sqrt{3} x + 4 = 0$ 的两个根，且 $α$ 、 $β \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，则 $α + β$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $- \frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $- \frac{2 π}{3}$ D、 $- \frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析
8. 函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 在区间 $(- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 上单调且 $f (x) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $φ$ 的范围是（）

A、 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ B、 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ C、 $[- \frac{π}{4} ， 0]$ D、 $[0 ， \frac{π}{3}]$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列选项中，值为 $\frac{1}{4}$ 的是（）

A、 $c o s 72 ° c o s 36 °$ B、 $s i n \frac{π}{12} s i n \frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{1}{s i n 50 °} + \frac{\sqrt{3}}{c o s 50 °}$ D、 $\frac{1}{3} - \frac{2}{3} c o s^{2} 15 °$

查看试题解析
10. 将函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω \in N^{*})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $f (x)$ 的所有对称中心与 $g (x)$ 的所有对称中心重合，则 $ω$ 可以为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

查看试题解析
11. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，则下列描述正确的有（）

A、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$ C、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、若存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$

查看试题解析
12. 设函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6}) - 1$ 的图象为 $C$ ，则（）

A、图象 $C$ 关于直线 $x = - \frac{5 π}{6}$ 对称 B、图象 $C$ 关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 中心对称 C、图象 $C$ 可由函数 $g (x) = 2 s i n 2 x - 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{3} ， \frac{13 π}{6}]$ 上单调递增

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，则函数 $y = s i n x + c o s x$ 的递增区间是.

查看试题解析
14. 已知在平面直角坐标系中，向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，且 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{n} = \vec{a} - \vec{b}$ ，设 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $c o s θ =$ .

查看试题解析
15. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：① $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x$ ；② $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{4})$ ；③ $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{3})$ ；④ $f (x) = \sqrt{2} s i n 2 x + 1$ ．其中为“同簇函数”的是（填序号）．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = | s i n x | + | c o s x |$ ，则下列结论中正确的是.① $f (x)$ 是周期函数；② $f (x)$ 的对称轴方程为 $x = \frac{k π}{4}$ ， $k \in Z$ ；③ $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上为增函数；④方程 $f (x) = \frac{6}{5}$ 在区间 $[- \frac{3 π}{2} ， 0]$ 有6个根.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $s i n α = - \frac{4 \sqrt{3}}{7} ， α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ .

(1)、求 $c o s (\frac{π}{4} + α)$ 的值；

(2)、若 $s i n (α + β) = - \frac{3 \sqrt{3}}{14} ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $β$ 的值.

查看试题解析
18. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 2) ， \overset{⇀}{b} = (x ， - 1)$ .

(1)、若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，求x的值；

(2)、若 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b})$ ，求 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角的余弦值.

查看试题解析
19. 已知顶点在坐标原点，始边在 $x$ 轴正半轴上的锐角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $A (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，将角 $α$ 的终边绕着原点 $O$ 逆时针旋转 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 得到角 $β$ 的终边.

(1)、求 $\frac{s i n 2 α}{2 c o s α - s i n^{2} α}$ 的值；

(2)、求 $s i n β c o s φ$ 的取值范围.

查看试题解析
20. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (- 3 ， k)$ .

(1)、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，求实数k的值；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角，求实数k的取值范围.

查看试题解析
21. 如图，已知 $O P Q$ 是半径为1，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形，点 $A$ 在弧 $P Q$ 上（异于点 $P ， Q$ )，过点 $A$ 做 $A B ⊥ O P ， A C ⊥ O Q$ ，垂足分别为 $B ， C$ ，记 $∠ A O B = θ$ ，四边形 $A C O B$ 的周长为 $l$ .

(1)、求 $l$ 关于 $θ$ 的函数关系式；

(2)、当 $θ$ 为何值时， $l$ 有最大值，并求出 $l$ 的最大值.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，且相邻的两条对称轴之间的距离为6.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变）得到函数 $g (x)$ 的图象，关于x的不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2} t^{2} + 2 t$ 在 $x \in [3 ， 5]$ 上有解，求实数t的取值范围.

查看试题解析