2022年初中数学苏科版《中考二轮复习》专题一数与式、方程与不等式 1.8 一元二次方程

试卷更新日期：2022-04-14 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 关于x的方程（a﹣1）x²+ $\sqrt{a + 1}$ x+2=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）

A、a≠1 B、a≥﹣1且a≠1 C、a＞﹣1且a≠1 D、a≠±1

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2. 如果 $k$ 是随机投掷一枚骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 有两个不等实数根的概率P＝（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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3. a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x²﹣2cx+a²+b²=0有两个相等的实数根，这个三角形是（）

A、等边三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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4. 已知 $⊙ O$ 的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且关于x的方程 $x^{2} - 2 x + d = 0$ 无实数根，则点P在 $⊙ O$ （）

A、内 B、上 C、外 D、无法确定

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5. 已知a≥2，m²-2am+2=0，n²-2an+2=0，则(m-1)²+(n-1)²的最小值是（）。

A、6 B、3 C、-3 D、0

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6. 已知双曲线 $y = \frac{2021}{x}$ 与直线 $y = k x + b$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} + x_{2} > 0$ ， $y_{1} + y_{2} > 0$ ，则（）

A、 $k > 0$ ， $b > 0$ B、 $k > 0$ ， $b < 0$ C、 $k < 0$ ， $b > 0$ D、 $k < 0$ ， $b < 0$

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7. 已知x=m是一元二次方程x²+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（）

A、 $\frac{13}{4}$ B、4 C、 $- \frac{15}{4}$ D、 $- \frac{13}{4}$

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8. 已知α，β是方程x²+2017x+1＝0的两个根，则（1+2019α+α²）（1+2019β+β²）的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 关于x的一元二次方程x²+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y²+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；② (m-1)²+(n-1)²≥2；③-1≤2m-2n≤1.其中正确结论的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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10. 一元二次方程：M：ax²+bx+c=0； N：cx²+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：
①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；③如果m是方程M的一个根，那么 $\frac{1}{m}$ 是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 若m是方程2x²﹣3x﹣1=0的一个根，则6m²﹣9m+2015的值为．

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12. 如果 $m$ 、 $n$ 是两个不相等的实数，且满足 $m^{2} - m = 3$ ， $n^{2} - n = 3$ ，那么代数式 $2 n^{2} - m n + 2 m + 2015$ =.

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13. 如果 $α ， β$ 是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 的两个根，则 $α^{2} + 4 α + β + 2019$ 的值是.

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14. 已知（x﹣2016）²+（x﹣2018）²=80，则（x﹣2017）²= ．

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15. 对任意两实数a、b，定义运算“*”如下： $a * b = {\begin{matrix} b^{a} (a \geq b) \\ b^{a} + b (a < b) \end{matrix}$ . 根据这个规则，则方程 $2 * x$ ＝9的解为．

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16. 已知关于x的方程a（x+m）²+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x₁=3，x₂=7，则方程 $4 a {(x + \frac{1}{2} m)}^{2} + b = 0$ 的解是.

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17. 某服装原价为300元，连续两次涨价a %后，售价为363元，则a的值为.

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18. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=1，CD=2，BC=m，点P是边BC上一动点，若△PAB与△PCD相似，且满足条件的点P恰有2个，则m的值为.

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三、解答题

19. 按指定的方法解下列方程：

(1)、2x²-5x-4=0（配方法）；

(2)、3（x-2）+x²-2x=0（因式分解法）；

(3)、（a²-b²）x²-4abx=a²-b²（a²≠b²）（公式法）．

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20. 在学校劳动基地里有一块长40米、宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图.已知这块矩形试验田中种植的面积为741平方米，小道的宽为多少米？

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21. 把一边长为60cm的正方形硬纸板，进行剪裁，折成一个长方体盒子.

(1)、如图1，若正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.
①要使折成的长方体盒子的底面积为625cm² ，那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，直接写出这个侧面积的最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由.

(2)、如图2，若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上）将剩余部分正好折成一个有盖的长方体盒子.若折成的一个长方体盒子的表面积为2800cm² ，求长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）.

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22. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 cm$ ， $B C = 12 cm$ ，点P从点A出发沿 $A B$ 以 $1 cm/s$ 的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿 $B C$ 以 $2 cm/s$ 的速度向点C移动.

(1)、几秒钟后 $△ D P Q$ 的面积等于 $28 {cm}^{2}$ ；

(2)、在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心， $P Q$ 为半
径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由.

(3)、在点P、Q的运动过程中，几秒后 $△ D P Q$ 是直角三角形？请直接写出答案.

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23. 阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m²＋n²＋1）（2m²＋n²－1）＝80，试求2m²＋n²的值.

解：设2m²＋n²＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t²－1＝80，t²＝81，

所以t＝±9，因为2m²＋n²≥0，所以2m²＋n²＝9.

上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.

(1)、已知实数x、y，满足（2x²＋2y²＋3）（2x²＋2y²－3）＝27，求x²＋y²的值；

(2)、已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a²＋b²）（a²＋b²－4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径.

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24. 阅读材料：用配方法求最值.
已知 $x$ ， $y$ 为非负实数， $∵ x + y - 2 \sqrt{x y} = {(\sqrt{x})}^{2} + {(\sqrt{y})}^{2} - 2 \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = {(\sqrt{x} - \sqrt{y})}^{2} \geq 0$ ， $∴ x + y \geq 2 \sqrt{x y}$ ，当且仅当“ $x = y$ ”时，等号成立.

示例：当 $x > 0$ 时，求 $y = x + \frac{1}{x} + 4$ 的最小值.

解： $y = (x + \frac{1}{x}) + 4 \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} + 4 = 6$ ，当 $x = \frac{1}{x}$ ，即 $x = 1$ 时， $y$ 的最小值为6.

(1)、尝试：当 $x > 0$ 时，求 $y = \frac{x^{2} + x + 1}{x}$ 的最小值.

(2)、问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元， $n$ 年的保养、维护费用总和为 $\frac{n^{2} + n}{10}$ 万元.问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用= $\frac{所有费用之和}{年数 n}$ ）？最少年平均费用为多少万元？

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25. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x²﹣6x+8＝0就是“倍根方程”.

(1)、若一元二次方程x²﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；

(2)、若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m²﹣5mn+n²的值；

(3)、若点（p，q）在反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ 的图象上，请说明关于x的方程px²+3x+q＝0是“倍根方程”；

(4)、若关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b²＝9ac.

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26. “新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品.某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：

普通口罩

N95口罩

进价（元/包）

8

20

(1)、计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；

(2)、按（1）中售价销售一段时间后，发现普通罩的日均销售量为120包，当每包售价降价0.5元时，日均销售量增加10包.该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价；

(3)、疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包（6000≤a≤7000）该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售.若这2万包口罩的利润率等于10%，求N95口罩每包售价.（售价为整数元）

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27. （了解概念）
在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边.

(1)、（理解运用）
邻等四边形ABCD中，∠A＝30°，∠B=70°，则∠C的度数为.

(2)、如图，凸四边形ABCD中，P为AB边的中点，△ADP∽△PDC，判断四边形ABCD是否为邻等四边形；并证明你的结论；

(3)、（拓展提升）
在平面直角坐标系中，AB为邻等四边形ABCD的邻等边，且AB边与x轴重合，已知A（-1，0），C（m， $2 \sqrt{3}$ ），D（2， $3 \sqrt{3}$ ），若在边AB上使∠DPC=∠BAD的点P有且仅有1个，请直接写出m的值.

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28. 阅读材料：各类方程的解法：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x³+x²-2x=0，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程x=0和x²+x-2=0，可得方程x³+x²-2x=0的解.

(1)、问题：方程 $6 x^{3} + 14 x^{2} - 12 x = 0$ 的解是： $x_{1}$ =0， $x_{2}$ = ， $x_{3}$ =；

(2)、拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长.

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	普通口罩	N95口罩
进价（元/包）	8	20

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二、填空题

三、解答题

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