北师大版备考2022中考数学二轮复习专题12 二次函数的图象与性质

试卷更新日期：2022-04-14 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图所示，则反比例函数y＝ $\frac{a}{x}$ 与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系内的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 将抛物线 $y = x^{2} - 4 x - 2$ 在x轴上方的部分记为 $M_{1}$ ，在x轴上及其下方的部分记为 $M_{2}$ ，将 $M_{1}$ 沿x轴向下翻折得到 $M_{3}$ ， $M_{2}$ 和 $M_{3}$ 两部分组成的图象记为M．若直线 $y = m$ 与M恰有2个交点，则m的取值范围为（）

A、 $m > 6$ 或 $m < - 6$ B、 $m = 0$ 或 $m < - 6$ C、 $- 6 < m < 6$ D、 $m = 0$ 或 $m > 6$

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3. 求二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，其对称轴为直线 $x = - 1$ ，与 $x$ 轴的交点为 $(x_{1} ， 0)$ 、 $(x_{2} ， 0)$ ，其中 $0 < x_{1} < 1$ ，有下列结论：① $a b c > 0$ ；② $- 3 < x_{2} < - 2$ ；③ $4 a - 2 b + c < - 1$ ；④ $a - b > a m^{2} + b m (m \neq - 1)$ ；⑤ $a > \frac{1}{3}$ ；其中，正确的结论有（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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4. 将二次函数y＝﹣x²+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）

A、 $- \frac{21}{4}$ 或﹣3 B、 $- \frac{13}{4}$ 或﹣3 C、 $\frac{21}{4}$ 或﹣3 D、 $\frac{13}{4}$ 或﹣3

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5. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x - 3 a$ （a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数）开口向下且过点 $A (1 ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ （ $- 2 < m < - 1$ ），下列结论：① $2 b + c > 0$ ；② $2 a + c < 0$ ；③ $a (m + 1) - b + c > 0$ ；④若方程 $a (x - m) (x - 1) - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $4 a c - b^{2} < 4 a$ .其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 定义： $\min {a ， b} = {\begin{array}{l} a (a \leq b) \\ b (a > b) \end{array}$ ，若函数 $y = \min (x + 1 ， - x^{2} + 2 x + 3)$ ，则该函数的最大值为（）

A、0 B、2 C、3 D、4

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8. 定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形 $O A B C$ 中，点 $A (0 ， 2)$ ，点 $C (2 ， 0)$ ，则互异二次函数 $y = {(x - m)}^{2} - m$ 与正方形 $O A B C$ 有交点时 $m$ 的最大值和最小值分别是（）

A、4，-1 B、 $\frac{5 - \sqrt{17}}{2}$ ，-1 C、4，0 D、 $\frac{5 + \sqrt{17}}{2}$ ，-1

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 $(1 ， 0)$ ，对称轴为 $x = - 1$ ，结合图象给出下列结论：

① $a + b + c = 0$ ；

② $a - 2 b + c < 0$ ；

③关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为-3和1；

④若点 $(- 4 ， y_{1})$ ， $(- 2 ， y_{2})$ ， $(3 ， y_{3})$ 均在二次函数图象上，则 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ；

⑤ $a - b < m (a m + b)$ （m为任意实数）．

其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 已知二次函数y=－x²+x+6及一次函数y=－x+m，将该二次函数在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴的下方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示）.当直线y=－x+m与新图像有4个交点时，m的取值范围是（）

A、 $- \frac{25}{4} < m < 3$ B、 $- \frac{25}{4} < m < - 2$ C、 $- 2 < m < 3$ D、 $- 6 < m < - 2$

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11. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与对称轴直线 $x = m$ 交于点A，与 $x ， y$ 轴交于 $B ， C ， D$ 三点，下列命题正确的是（）
① $a b c > 0$ ；②若 $O D = O C$ ，则 $a c + b + 1 = 0$ ；③对于任意 $x_{0} (x_{0} \neq m)$ ，始终有 $a x_{0}^{2} + b x_{0} > a m^{2} + b m$ ；④若B的坐标为 $(- m ， 0)$ ，则C的坐标为 $(3 m ， 0)$ ．

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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12. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动，连结BM，CM，AN，DN，则在整个运动过程中，阴影部分面积和的大小变化情况是（）

A、不变 B、一直变大 C、先减小后增大 D、先增大后减小

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二、填空题

13. 二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 与两坐标轴的三个交点确定的三角形的面积是．

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14. 将抛物线 $y = - 2 x^{2} + 1$ 向右平移 $1$ 个单位，再向下平移 $3$ 个单位后所得到新抛物线的解析式是，顶点坐标是．

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15. 已知抛物线：y=ax²+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论：
①b＜1；②c＜2；③0＜m＜ $\frac{1}{2}$ ；④n≤1．
则所有正确结论的序号是．

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16.
在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m²）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m.

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17. 已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）²向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是．

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18. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，D为线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边三角形BDE。若F为DE的中点，则CF的最小值为。

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19. 已知关于x的方程（a+2）x²﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根x₁和x₂ ，抛物线y=x²﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别为位于点（2，0）的两旁，若|x₁|+|x₂|=2 $\sqrt{2}$ ，则a的值为．

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20. 如图，把抛物线y= $\frac{1}{2}$ x²平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y= $\frac{1}{2}$ x²交于点Q，则图中阴影部分的面积为．

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三、作图题

21. 已知二次函数y=﹣x²+2x+3图象的对称轴为直线．

(1)、请求出该函数图象的对称轴；

(2)、在坐标系内作出该函数的图象；

(3)、有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x²+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．

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四、解答题

22. 交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的液体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征。其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数，为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间的部分数据如下表：
速度v（千米/小时）
…
5
10
20
32
40
48
…
流量q（辆/小时）
…
550
1000
1600
1792
1600
1152
…

(1)、根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是（只需填上正确答案的序号）① $q = 90 v + 100$ ② $q = \frac{32000}{v}$ ③ $q = - 2 v^{2} + 120 v$

(2)、请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？

(3)、已知q，v，k满足 $q = v k$ ，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题：
①市交通运行监控平台显示，当 $12 \leq v < 18$ 时道路出现轻度拥堵，试分析当车流密度k在什么范围时，该路段出现轻度拥堵；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值

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23. 如图，已知抛物线y=﹣x²﹣2x+m+1与x轴交于A（x₁ ， 0）、B（x₂ ， 0）两点，且x₁＜0，x₂＞0，与y轴交于点C，顶点为P．（提示：若x₁ ， x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根，则x₁+x₂=﹣ $\frac{b}{a}$ ，x₁•x₂= $\frac{c}{a}$ ）

(1)、求m的取值范围；

(2)、若OA=3OB，求抛物线的解析式；

(3)、在（2）中抛物线的对称轴PD上，存在点Q使得△BQC的周长最短，试求出点Q的坐标．

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五、综合题

24.
如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 经过点 $A (- 1 ， 0) ， B (4 ， 0)$ ，交y 轴于点C：

(1)、求抛物线的解析式（用一般式表示）．

(2)、点 $D$ 为 $y$ 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 $D$ 使 $S_{Δ A B C} = \frac{2}{3} S_{Δ A B D}$ ，若存在请直接给出点 $D$ 坐标；若不存在请说明理由．

(3)、将直线 $B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $45^{\circ}$ ，与抛物线交于另一点 $E$ ，求 $B E$ 的长．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点.

(1)、求A，C两点的坐标；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值.

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26.
如图，直线y=﹣ $\frac{2}{3}$ x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣ $\frac{4}{3}$ x²+bx+c经过点A，B．

(1)、求点B的坐标和抛物线的解析式；

(2)、M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．

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速度v（千米/小时）	…	5	10	20	32	40	48	…
流量q（辆/小时）	…	550	1000	1600	1792	1600	1152	…