广西壮族自治区来宾市象州县2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-04-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 1 \end{cases}$ 是下列方程组的解（）

A、 $\{\begin{cases} x - 2 y = 4 \\ 2 x + y = 5 \end{cases}$ B、 $\{\begin{cases} x - 2 y = 0 \\ 2 x + y = 3 \end{cases}$ C、 $\{\begin{cases} x - 2 y = 4 \\ 2 x + y = 3 \end{cases}$ D、 $\{\begin{cases} x - 2 y = 0 \\ 2 x + y = 5 \end{cases}$

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2. 把方程 $x - 3 y - 3 = 0$ 改写为用含x的代数式表示y的形式是（）

A、 $x = 3 y + 3$ B、 $y = \frac{x}{3} - 1$ C、 $x = - 3 y - 3$ D、 $y = \frac{x}{3} - 3$

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3. 方程组 ${\begin{array}{l} x + 4 y = 7 \\ 2 x - 4 y = - 1 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 8 \\ y = - \frac{1}{4} \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = \frac{5}{4} \end{array}$

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4. 用加减法解二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 7 x - 3 y = 8 ① \\ 5 x - 3 y = - 2 ② \end{array}$ ，用①减②得到的方程是（）

A、 $2 x = 10$ B、 $2 x = 6$ C、 $12 x = 6$ D、 $12 x = 10$

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5. 计算： $10 \times 1 0^{2} \times 1 0^{4}$ 的结果，正确的是（）

A、 $1 0^{8}$ B、 $1 0^{6}$ C、 $1 0^{7}$ D、 $1 0^{9}$

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6. 计算： ${(- 3 a^{2})}^{2} \cdot (- a)^{3}$ 的结果，正确的是（）

A、 $3 a^{7}$ B、 $- 9 a^{7}$ C、 $- 6 a^{12}$ D、 $6 a^{7}$

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7. 计算： $(12 x^{n + 2} y) \cdot (- \frac{3}{4} x^{n} y^{2})$ 的结果，正确的是（）

A、 $- 9 x^{n + 3} y^{2}$ B、 $- 9 x^{2 n + 2} y^{3}$ C、 $- 9 x^{2 n + 2} y^{2}$ D、 $9 x^{2 n + 2} y^{3}$

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8. 计算： $(4 x - 3 y) (x - 5 y)$ 的结果，正确的是（）

A、 $4 x^{2} - 23 x y + 15 y^{2}$ B、 $4 x^{2} - 15 y^{2}$ C、 $4 x^{2} + 15 y^{2}$ D、 $4 x^{2} + 23 x y + 15 y^{2}$

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9. 计算： $(- 2 x - 3 y) (- 2 x + 3 y)$ 的结果，正确的是（）

A、 $4 x^{2} - 9 y^{2}$ B、 $9 y^{2} - 4 x^{2}$ C、 $4 x^{2} + 9 y^{2}$ D、 $2 x^{2} - 3 y^{2}$

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10. 下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（）

A、 $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$ B、 $4 x^{2} + 12 x - 5 = 4 x (x + 3) - 5$ C、 $x^{2} - y^{2} + x = (x + y) (x - y) + x$ D、 $4 x^{2} + 4 y^{2} - 8 x y = 4 (x - y)^{2}$

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11. 已知下列多项式：① $4 x^{2} + 8 x y - 4 y^{2}$ ；② $- x^{2} + 2 x y - y^{2}$ ；③ $4 x y + 4 x^{2} + y^{2}$ ；④ $4 x - 1 - 4 x^{2}$ .其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（）

A、①②③④ B、①②③ C、①②④ D、②③④

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12. 利用平方差公式计算 $(1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times (1 - \frac{1}{4^{2}}) \times ⋯ \times (1 - \frac{1}{9 9^{2}}) \times (1 - \frac{1}{10 0^{2}})$ 的结果是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{99}{100}$ C、 $\frac{101}{200}$ D、 $\frac{101}{100}$

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二、填空题

13. 计算 ${(- 2 x^{2} y)}^{3}$ =.

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14. 多项式 $4 x^{3} y - 8 x y + 4 x y^{3}$ 各项的公因式是.

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15. 解二元一次方程组的基本方法有法和法，基本思想方法是.

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16. 已知 $x - y = 3$ ， $x y = - 4$ ，则 $x^{3} y - 2 x^{2} y^{2} + x y^{3}$ 的值等于.

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17. 利用完全平方公式计算： $\frac{10 0^{2}}{10 1^{2} - 202 + 1} =$ .

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18. 如图，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形区域摆放鲜花，则每个小长方形的周长是.

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三、解答题

19. 解下列方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 3 x - 4 y = 7 \\ x - 2 y = 1 \end{array}$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} 5 x - 6 y = - 4 \\ 2 x - 3 y = - 1 \end{array}$ .

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20. 计算

(1)、 $- a^{2} \cdot (- 2 a)^{3} \cdot (- a) - {(a^{2})}^{3} + {(- 2 a^{3})}^{2}$ ；

(2)、 ${(- 3 a^{2} b)}^{3} \cdot (2 a - b^{2} - 1)$ .

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21. 把下列各式因式分解

(1)、 $4 x^{2} (x - y) + 25 y^{2} (y - x)$ ；

(2)、 $(x + y + 1)^{2} - (x - y + 1)^{2}$ .

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22. 下面是小明同学对多项式 $(x^{2} - 5 x + 2) (x^{2} - 5 x + 6) + 4$ 进行因式分解的过程：
解：设 $x^{2} - 5 x = y$ ，则（第一步）
原式 $= (y + 2) (y + 6) + 4$ （第二步）
$= y^{2} + 8 y + 16 = (y + 4)^{2}$ （第三步）
把 $x^{2} - 5 x = y$ 代入上式，得原式 $= {(x^{2} - 5 x + 4)}^{2}$ （第四步）
我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：

(1)、该同学因式分解的结果（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：；

(2)、请你仿照上面的方法，对多项式 $(a^{2} - 3 a) (a^{2} - 3 a + 4) + 4$ 进行因式分解.

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23. 已知 $a + b = 6$ ， $a b = - 4$ ，求下列各式的值：

(1)、 $a^{2} + b^{2}$ ；

(2)、 $a^{2} - a b + b^{2}$ .

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24. 阅读材料，解决问题.
材料一：比较 $3^{22}$ 和 $4^{11}$ 的大小.
解：因为 $4^{11} = {(2^{2})}^{11} = 2^{22}$ ，而 $3 > 2$ ，所以 $3^{22} > 2^{22}$ ，即 $3^{22} > 4^{11}$ .
小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小.
材料二：比较 $2^{8}$ 和 $8^{2}$ 的大小.
解：因为 $8^{2} = {(2^{3})}^{2} = 2^{6}$ ，而 $8 > 6$ ，所以 $2^{8} > 2^{6}$ ，即 $2^{8} > 8^{2}$ .
小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小.

(1)、比较 $3^{44}$ ， $4^{33}$ ， $5^{22}$ 的大小：

(2)、比较 $8 1^{31}$ ， $2 7^{41}$ ， $9^{61}$ 的大小.

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25. 先化简，再求值： $(3 x^{2} - 4 y^{3}) (- 3 x^{2} - 4 y^{3}) - {(- 3 x^{2} - 4 y^{3})}^{2}$ ，其中x，y满足 $| x + \frac{1}{2} |$ 与 $(1 - y)^{2}$ 互为相反数.

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26. 为了让居民树立起“节约水，保护水”的用水概念，某市的居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水计费价格表的部分信息.
每户每月用水量
自来水销售价格/（元/t）
污水处理价格/（元/t）
10t及以下
m
0.8
超过10t但不超过20t的部分
n
0.8
超过20t的部分
3.20
0.8
（说明：①每户产生的污水量等于该用户自来水用量：②水费=自来水费用+污水处理费用）
已知小李家去年6月份用水10t，缴纳水费25元；7月份用水15t，缴纳水费45.5元.

(1)、求表中的m，n的值；

(2)、小李家去年8月份的水费正好是家庭月收入的1%，已知小李家的月收入为8000元，求小李家8月份的用水量.

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每户每月用水量	自来水销售价格/（元/t）	污水处理价格/（元/t）
10t及以下	m	0.8
超过10t但不超过20t的部分	n	0.8
超过20t的部分	3.20	0.8