新疆昌吉学联体2022届高三下学期理数第三次高考适应性联考试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 3 x - 2 > 1}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 3}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 1}$ D、 ${x | - 3 < x < 1}$

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2. 已知复数z满足 $(z - 2) (1 + i) = 1 - 3 i$ ，则复数z在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{20} - a_{22} = 2$ ， $a_{1011} = 1012$ ，则 $a_{2022} =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、2023

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4. 某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8，18，15，20，16，21，19，18，19，10，6，20，20，23，25，这组数据的中位数和众数分别是（）

A、18，20 B、18.5，20 C、19，20 D、19.5，20

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5. 数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线 $y = a x^{2} (a \neq 0)$ 的一部分，且点 $A (2 ， - 2)$ 在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（）

A、 $(0 ， - \frac{1}{2})$ B、（0，－1） C、 $(0 ， - \frac{1}{4})$ D、 $(0 ， - \frac{1}{8})$

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6. 新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物、政治、地理4门科目中选考2门科目，则学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知A是函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x (ω > 0)$ 图象的一个最高点，B，C为直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 与函数 $f (x)$ 图象的两个相邻的交点，若存在B，C，使得 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、2 C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

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8. 在高为3的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，△ABC是以C为直角的等腰三角形，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，其中D为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，M为线段BC上的动点，则AM+MD的最小值为（）

A、 $3 + \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{26}$ C、 $2 + \sqrt{10}$ D、5

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9. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则 $\vec{E A} \cdot \vec{E B}$ 的最小值是（）

A、－1 B、1 C、－3 D、3

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10. 设 $a = 2 e^{- 0.2}$ ， $b = e^{0.2}$ ， $c = 1.2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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11. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线E的一条渐近线，垂足为M，直线l与双曲线E交于点N，且 $\vec{F N} = 3 \vec{F M}$ ，则双曲线E的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 若存在正实数x，y，使得等式 $4 x + a (y - 3 e^{2} x) (l n y - l n x) = 0$ 成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e^{2}}]$ B、 $[\frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ C、 $(- ∞ ， 0)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup [\frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 2 b x^{2} + x$ 是定义在 $[2 a + 1 ， 3 - a]$ 上的奇函数，则 $a + b =$ .

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14. $(x - 1) {(2 x - 1)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数是.（用数字作答）

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n} - 2 n$ ，若 $a_{m} > 729$ ，则m的最小值是.

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16. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是.

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三、解答题

17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ .

(1)、求角A的值；

(2)、延长AC至点D，使得CD＝AC，且BD＝2BC，若c＝6，求△ABC的周长.

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18. 如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面， $O^{'}$ ， O分别是上、下底面圆的圆心，EF是底面圆的一条直径，DE＝DF.

(1)、证明：EF⊥AB；

(2)、若 $2 A D = \sqrt{3} A B$ ，求平面BCF与平面CDE所成锐二面角的余弦值.

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19. 为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排4名干部和三个部门（A，B，C）的16名职工到该地的四个高速路口担任疫情防控志愿者，其中16名职工分别是A部门8人，B部门4人，C部门4人.

(1)、若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；

(2)、若将这4名干部随机安排到四个高速路口（假设每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的选择是相互独立的），记安排到第一个高速路口的干部人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆C的离心率小于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .点P在椭圆C上， $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4$ ，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、点M（1，1），A，B是椭圆C上不同的两点，点N在直线l： $3 x + 4 y - 12 = 0$ 上，且 $\vec{N A} = λ \vec{A M}$ ， $\vec{N B} = μ \vec{B M}$ ，试问 $λ + μ$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{m x} + x - x l n x (m \geq 0)$ .

(1)、当m＝1时，求f（x）在[1，e]上的值域；

(2)、设函数f（x）的导函数为 $f^{'} (x)$ ，讨论 $f^{'} (x)$ 零点的个数.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 3 c o s α \\ y = 3 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是 $ρ c o s θ - ρ s i n θ + 4 = 0$ .

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、已知P，Q分别是曲线C和直线l上的动点，求 $| P Q |$ 的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + a | + | 2 x - 3 |$ .

(1)、当a＝1时，求不等式 $f (x) \leq x + 7$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求a的取值范围.

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