天津市和平区2022届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 全集 $U = Z$ ，集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 2 ， x \in N} ， B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${2}$

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2. 已知命题 $p ： \forall x > 0 ， (x + 1) e^{x} > 1$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x ⩽ 0 ， (x + 1) e^{x} ⩽ 1$ B、 $\exists x_{0} ⩽ 0 ， (x_{0} + 1) e^{x_{0}} ⩽ 1$ C、 $\forall x > 0 ， (x + 1) e^{x} ⩽ 1$ D、 $\exists x_{0} > 0 ， (x_{0} + 1) e^{x_{0}} ⩽ 1$

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3. 下列函数中，图像为下图的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ B、 $f (x) = \frac{1}{‖ x | - 1 |}$ C、 $f (x) = \frac{1}{| x + 1 |}$ D、 $f (x) = \frac{1}{| x | + 1}$

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4. 为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛．根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（）

A、65 B、75 C、85 D、95

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5. 已知 $x \in (e^{- 1} ， 1)$ ，记 $a = l n x ， b = {(\frac{1}{2})}^{l n x} ， c = e^{l n x}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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6. 中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C E$ ，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A D = 2$ ， $E D = 1$ ，若鳖牖 $P - A D E$ 的体积为l，则阳马 $P - A B C D$ 的外接球的表面积等于（）．

A、17π B、18π C、19π D、20π

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7. 设函数 $f (x) = 4 s i n (ω x + φ)$ ，其中 $0 < ω < 1$ ， $| φ | < π$ ，若 $f (\frac{3 π}{8}) = 4$ ， $f (\frac{9 π}{8}) = 0$ ，则 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上的单调减区间是（）

A、 $[0 ， \frac{3}{8} π]$ B、 $[\frac{15}{8} π ， 2 π]$ C、 $[\frac{3}{8} π ， \frac{15}{8} π]$ D、 $[0 ， π]$

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8. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线过点 $(\sqrt{3} ， 2)$ ，且双曲线的一个焦点在抛物线 $x^{2} = 4 \sqrt{7} y$ 的准线上，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{21} - \frac{x^{2}}{28} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{28} - \frac{y^{2}}{21} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{3} = 1$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n \frac{π x}{2} ， 0 ⩽ x ⩽ 2 \\ - \sqrt{- x^{2} + 6 x - 8} ， 2 < x ⩽ 4 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k x - 1$ 恰有三个零点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{3}{4} ， - \frac{1}{4}]$ B、 $(- \frac{3}{4} ， - \frac{1}{4}]$ C、 $(- \frac{4}{3} ， - \frac{1}{4})$ D、 $(- \frac{4}{3} ， - \frac{1}{4}]$

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二、填空题

10. 若复数 $z$ 满足 $(3 - 4 i) z = | 3 - 4 i |$ ，则 $z$ 的模为，虚部为．

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11. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“ $k$ 合1检测法”，即将 $k$ 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还要对本组的每个人再做检测.若有100人，已知其中2人感染病毒，采用“10合一检测法”，若2名患者在同一组，则总检测次数为次；若两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$ ，定义随机变量 $X$ 为总检测次数，则数学期望 $E (X)$ 为.

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12. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = \sqrt{3}$ ， $2 \vec{A D} = 3 \vec{B D}$ ， $2 \vec{C F} = \vec{A D}$ ， $\vec{A F} \cdot \vec{C D} = \frac{51}{4}$ ，则 $B C =$ ，延长 $D F$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，点 $P$ 在边 $B C$ 上，则 $\vec{D P} \cdot \vec{E P}$ 的最小值为.

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13. 在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中， $\frac{1}{x}$ 的系数是.

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14. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $2 x - y - 2 = 0$ 上，且与直线 $l$ ： $3 x + 4 y - 28 = 0$ 相切于点 $P (4 ， 4)$ .则圆 $C$ 的标准方程为.

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15. 已知 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{4}{a + b} + \frac{1}{a - b}$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，满足 $(2 a - b) s i n A + (2 b - a) s i n B = 2 c s i n C$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $t a n A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $s i n (2 A - C)$ 的值.

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17. 平行四边形 $A B C D$ 所在的平面与直角梯形 $A B E F$ 所在的平面垂直， $B E$ ∥ $A F$ ， $A B = B E = \frac{1}{2} A F = 1$ ，且 $A B ⊥ A F ， ∠ C B A = \frac{π}{4} ， B C = \sqrt{2} ， P$ 为 $D F$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ E F$ ；

(2)、求点 $P$ 到平面 $B C E$ 的距离；

(3)、若直线 $E F$ 上存在点 $H$ ，使得直线 $C F ， B H$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求直线 $B H$ 与平面 $A D F$ 成角的大小.

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =$ 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，点P（﹣1， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）在椭圆C上，且|PF₂| $= \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点F₂的直线l与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若椭圆C上存在点N，满足 $\vec{O N} =$ 3 $\vec{O M}$ （O为坐标原点），求直线l的方程．

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 各项均不为零， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，点 $(a_{n} + 1 ， S_{2 n - 1})$ 在函数 $f (x) = (x - 1)^{2}$ 的图像上.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n - 1}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = (- 1)^{n - 1} \frac{4 n}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和的最大值、最小值.

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20. 设函数 $f (x) = l n (x + 1) + a (x^{2} - x)$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 极值点的个数，并说明理由；

(3)、若 $\forall x > 0 ， f (x) ⩾ 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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