四川省宜宾市2022届高三理数第二次诊断测试试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} = 2 x}$ ， $B = {1 ， 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${2}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 + i) = 1 - i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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3. 为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试.如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图.则下列关于这次考试成绩的估计错误的是（）

A、众数为82.5 B、中位数为85 C、平均数为86 D、有一半以上干部的成绩在80~90分之间

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > 0 ， b > 0)$ 的两个顶点为 $A_{1} ， A_{2}$ ，双曲线 $C$ 上任意一点 $P$ （与 $A_{1} ， A_{2}$ 不重合）都满足 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 的斜率之积为 $\frac{5}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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5. 物理学家和数学家牛顿（IssacNewton）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是 $T_{1}$ （单位： $℃$ ），环境温度是 $T_{0}$ （单位： $℃$ ），且经过一定时间 $t$ （单位： $m i n$ ）后物体的温度 $T$ （单位： $℃$ ）满足 $\frac{T_{1} - T_{0}}{T - T_{0}} = e^{k t}$ （ $k$ 为正常数）.现有一杯100 $℃$ 热水，环境温度 $20$ ℃，冷却到40℃需要 $16 m i n$ ，那么这杯热水要从 $40$ $℃$ 继续冷却到 $30$ $℃$ ，还需要的时间为（）

A、 $6 m i n$ B、 $7 m i n$ C、 $8 m i n$ D、 $9 m i n$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c o s 2 A = c o s (B + C)$ ，且 $b = 2$ ， $c = 6$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{13}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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7. 已知点 $A (- \sqrt{5} ， 2)$ ， $B (\sqrt{5} ， 6)$ ，以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $x - y = 0$ 交于 $M ， N$ 两点，则 $△ M N C$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 已知 $f (x) = 2 s i n^{2} (2 x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} s i n (4 x - \frac{2 π}{3})$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $ϕ$ $(ϕ > 0)$ 个单位得到函数 $g (x)$ ，则使得 $g (x)$ 是偶函数的 $ϕ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{| x - 1 |}$ ，设 $a = f (l o g_{5} \frac{1}{6})$ ， $b = f (\frac{1}{2})$ ， $c = f (2^{\frac{3}{2}})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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11. 已知点 $M (- \frac{p}{2} ， 0)$ ，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点是 $F$ ，过 $M$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，点 $N$ 是线段 $A B$ 的中点，若 $| N F | = \sqrt{3} p$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\pm p$ B、 $\pm \frac{p}{2}$ C、±1 D、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 三棱锥 $P - A B C$ 满足 $P A = A B = 2$ ， $P C + C B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A P C = ∠ A B C = 30 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知 $f (x) = x^{2} + 2 x f^{^{'}} (- \frac{1}{3})$ ，则曲线 $f (x)$ 在点 $x = - \frac{1}{3}$ 处的切线方程为.

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14. 在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 8$ ， $A D = 5$ ， $\vec{D P} = \frac{1}{4} \vec{D C}$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 22$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{P B} =$ .

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15. 2022年冬奥会在北京､延庆､张家口三个区域布局赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目.现在组委会招聘了甲在内的4名志愿者，准备分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为.

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16. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{1}{3}$ ，且满足 $2 a_{n} a_{n + 1} = a_{n - 1} (3 a_{n + 1} - a_{n})$ $(n \geq 2)$ ，则 $a_{n} =$ .

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三、解答题

17. 铁路作为交通运输的重要组成部分，是国民经济的大动脉，在我国经济发展中发挥着重要的作用.近年来，国家持续加大对铁路行业尤其是对高速铁路的投资力度，铁路行业得到了快速发展且未来仍具有较大的增长潜力.下图是我国2017至2021年铁路营业里程折线图.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x {}_{i}- \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、为了使运算简单，用 $x$ 表示年份数与2016的差，用 $y$ 表示各年的营业里程数，由折线图易知 $y$ 与 $x$ 具有较强的线性关系，试用最小二乘法求 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程，并预测2022年营业里程为多少万公里；

(2)、从2017至2021年的五个营业里程数中随机抽取两个数，求所取得的两个数中，至少有一个超过14的概率.

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18. 在① $S_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} - 1) (n + 2)$ ， ② ${S_{n}}^{2} - (n^{2} + 2 n - 1) S_{n} - (n^{2} + 2 n) = 0$ ， $a_{n} > 0$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足____.记数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $\frac{1}{3} \leq T_{n} < \frac{3}{4}$ .
注：如果两个条件都选择作答，则按照第一个解答评分.

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19. 如图1，在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A E ⊥ C D$ ，垂足为 $E$ ， $A B = A E = \frac{1}{2} C E = 1$ ， $D E = \sqrt{2}$ .将△ $A D E$ 沿 $A E$ 翻折到△ $P A E$ ，如图2所示. $M$ 为线段 $P B$ 的中点，且 $M E ⊥ P C$ .

(1)、求证： $P E ⊥ E C$ ；

(2)、设 $N$ 为线段 $A E$ 上任意一点，当平面 $B M N$ 与平面 $P C E$ 所成锐二面角最小时，求 $E N$ 的长.

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20. 已知椭圆 $E ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $G$ 为 $E$ 的上顶点，且 $\vec{F_{1} G} \cdot \vec{F_{2} G} = - 2$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过坐标原点 $O$ 作两直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 和 $C$ ， $D$ 两点，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .是否存在常数 $t$ ，使 $k_{1} \cdot k_{2} = t$ 时，四边形 $A C B D$ 的面积 $S$ 为定值？如果存在，求出 $t$ 的值；如果不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = a [l n (x - 1) + l n a - 1] - x$ ，函数 $g (x) = e^{x} - x$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $F (x) = g (x) - f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $q$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线 $m$ 的极坐标方程为 $ρ s i n θ = - 2$ ，动点 $P$ 在直线 $m$ 上，将射线 $O P$ 按逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 得到射线 $O P^{'}$ ，射线 $O P^{'}$ 上一点 $Q$ 满足 $| O Q | \cdot | O P | = 8$ ，设点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线C的极坐标方程；

(2)、直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ， $l$ 与曲线 $C$ 相交于点 $A$ （与 $O$ 不重合），若 $△ O A B$ 的顶点 $B$ 也在曲线 $C$ 上，求 $△ A O B$ 面积的最大值，并求这时点 $B$ 的直角坐标.

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23. 已知 $a ， b ， c \in R^{+}$ ， $a + b + c = 3$ .

(1)、求 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1} + \sqrt{c + 1}$ 的最大值；

(2)、求证： $\frac{a^{2} + c^{2}}{b} + \frac{b^{2} + a^{2}}{c} + \frac{c^{2} + b^{2}}{a} \geq 6$ .

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