陕西省咸阳市2022届高三下学期理数二模试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x | y = l n (x - 1)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | x > 2}$ B、 ${x | 0 < x < 2}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | x > 0}$

查看试题解析
2. 复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、1 C、 $- i$ D、-1

查看试题解析
3. 已知命题 $p ： \forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $e^{x} > x + 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $e^{x} \leq x + 1$ B、 $\forall x \notin (0 ， + \infty)$ ， $e^{x} \leq x + 1$ C、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $e^{x} \leq x + 1$ D、 $\exists x \notin (0 ， + \infty)$ ， $e^{x} > x + 1$

查看试题解析
4. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y + 2 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ x \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最小值为（）

A、5 B、1 C、-3 D、-5

查看试题解析
5. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ， E 、 F$ 分别为 $B_{1} C_{1} 、 C_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} D$ 与 $E F$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = s i n (x - \frac{π}{6}) - c o s x$ 的最小值为（）

A、1 B、-1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

查看试题解析
7. 已知函数 $y = f (x)$ 为定义在R上的奇函数，且 $f (x + 2) = - f (x)$ ，当 $x \in (- 2 ， 0)$ 时， $f (x) = x$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、2021 B、1 C、-1 D、0

查看试题解析
8. 某单位决定从4名男党员干部和3名女党员干部中选取3人赴外地考察学习，若选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，则不同的选取方案共有（）

A、60种 B、34种 C、31种 D、30种

查看试题解析
9. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比为3：2.若在该正方体的外接球内任取一点，此点取自“牟合方盖”内的概率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{π}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9 π}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

查看试题解析
10. 已知 $c o s α \neq 0$ ，且 $3 s i n 2 α - 4 c o s 2 α = 4$ ，则 $t a n α =$ （）

A、-2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\pm \frac{4}{3}$

查看试题解析
11. 已知 $a \in (e ， + \infty)$ ，则函数 $f (x) = a l n x + a x - x e^{x}$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
12. 已知A､B是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）长轴的两端点，P､Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ （ $k_{1} k_{2} \neq 0$ ），若椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，则 $| k_{1} + k_{2} |$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

查看试题解析

二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $B = 2 A ， a = 1 ， b = \sqrt{3}$ 则边 $c =$ .

查看试题解析
14. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， - 3)$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{10}$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

查看试题解析
15. 给出以下命题：
① “ $a \leq 3$ ”是“ $\exists x_{0} \in [0 ， 2]$ ， ${x_{0}}^{2} - a \geq 0$ ”的充分不必要条件；
②垂直于同一个平面的两个平面平行；
③若随机变量X~N（3， $σ^{2}$ ），且 $p (X \geq 6) = 0.2$ ，则 $p (0 \leq X \leq 6) = 0.4$ ；
④已知点P（2，0）和圆O： $x^{2} + y^{2} = 36$ 上两个不同的点M，N，满足∠MPN=90°，Q是弦MN的中点，则点Q的轨迹是一个圆.
其中正确命题的序号是.

查看试题解析
16. 已知双曲线C：（ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左焦点为F，过F且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与另一条渐近线交于点P，交y轴于点A，若A为PF的中点，则双曲线C的离心率为.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知函数 $f (n) = 2 n - 1 (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{f (n)} (n \in N^{*})$ .数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，满足 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{3} = b_{2} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

查看试题解析
18. 某地区2015年至2021年居民家庭人均存款y（单位：万元）数据如下表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均存款y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
变量t，y具有线性相关关系.现有甲､乙､丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲 $y = 0.5 t - 2.3$ ；乙 $y = - 0.5 t + 2.3$ ；丙 $y = 0.5 t + 2.3$ ，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

(1)、试判断谁的计算结果正确？

(2)、若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差大于0.1，则称该数据为“不可靠数据”，若误差为0，则称该检测数据是“完美数据”，这两者之外的其余数据均称为“可靠数据”.现剔除不可靠数据，从剩余数据中随机抽取2个，求其中“完美数据”个数的分布列和数学期望.

查看试题解析
19. 如图，四边形 $A B C D$ 与 $B D E F$ 均为菱形， $F A = F C$ ， $A B = 2$ ，且 $∠ D A B = ∠ D B F = 60 °$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E F$ ；

(2)、求二面角 $E - A F - B$ 的余弦值.

查看试题解析
20. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ），过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M､N两点，S_△MON=2.

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、点A是抛物线C上异于点O的一点，连接AO交抛物线的准线于点D，过点D作x轴的平行线交抛物线于点B，求证：直线AB恒过定点.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = l n x - k x + 1$ .

(1)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数k的取值范围；

(2)、证明： $(1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{3^{2}}) \cdot \cdot \cdot (1 + \frac{1}{n^{2}}) < e^{\frac{2}{3}}$ ( $n \in N^{*}$ ， $n > 1$ ).

查看试题解析
22. 已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} \cos θ \\ y = \sqrt{2} \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 公共点的极坐标；

(2)、若点 $A$ 的极坐标为 $(2 ， π)$ ，设曲线 $C_{2}$ 与 $y$ 轴相交于点 $B$ ，点 $P$ 在曲线 $C_{1}$ 上，满足 $P A ⊥ P B$ ，求出点 $P$ 的直角坐标.

查看试题解析
23. 已知关于x的不等式 $| x - 1 | - | x + 2 | \geq | m + 2 |$ 有解.

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、设 $M$ 是m的最大值，若 $a > 1$ ， $b > 1$ ， $c > 1$ ，且 $(a - 1) (b - 1) (c - 1) = M$ ，求证： $a b c \geq 8$ .

查看试题解析

年份	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均存款y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9