陕西省西安市阎、高、蓝、周、临五区县2022届高三下学期理数联考试卷（二）

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = 2^{x - 1} ， 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | y = l g (2 - x)}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $A ∩ B = [0 ， 2]$ C、 $A ∪ B = (- \infty ， 2]$ D、 $(∁_{R} A) ∪ B = R$

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2. 用系统抽样的方法从720人中抽取24人参加某项公益活动，现将这720人从1到720随机编号，已知分组后某组抽到的号码为77，则抽到的24人中编号在区间 $(0 ， 486)$ 的数量为（）

A、12 B、14 C、11 D、16

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3. 设复数z满足 $| z | = | z - 1 | = 1$ ，且z的实部小于虚部，则 $z =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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4. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 上的单调增函数，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (f (x) - 2 x) = 6$ ，则 $f (6)$ 的值为（）

A、12 B、14 C、-14 D、18

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5. 已知向量 $\vec{a} = (λ, - 2), \vec{b} = (3, 1)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、-6 D、6

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6. 若 $\sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3} ， α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\cos α$ 的值为（）

A、 $\frac{4 - \sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{4 + \sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{7}{18}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点 $M (t ， 4)$ 为线段 $A B$ 的中点，则 $A B$ 的长度为（）

A、12 B、18 C、16 D、8

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8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

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9. 已知 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 为等比数列，则“ $a_{1} < a_{2}$ ”是“ ${a_{n}}$ 为递增数列”的（）

A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (2 ω x + φ)$ ， $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $2 π$ ，函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，且满足函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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11. $(a + x) {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则实数 $a =$ （）

A、2 B、0 C、-1 D、1

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12. 设 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数且 $f (2 - x) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2 - 2^{x}$ ，若方程 $f (x) = l o g_{a} (x + 1)$ 在 $(- 1 ， 3)$ 内只有3个解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{5} ， \frac{1}{3})$ B、 $(3 ， 5)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象过原点，且 $y = f (x)$ 在原点的切线为第一、三象限的平分线，试写出一个满足条件的函数.

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14. 已知球的直径 $A B = 2$ ， C，D是球面上的两点，且 $C D = 1$ ，若 $∠ B A C = ∠ B A D$ ，则三棱锥 $B - A C D$ 的体积的最大值是.

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15. 已知 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且 $c^{2} = {(a - b)}^{2} + 6$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $s i n A \cdot s i n B$ 的取值范围为.

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16. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{5} = 1$ ，双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率互为倒数， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $C_{2}$ 的左、右焦点，设点M为 $C_{2}$ 的渐近线上的一点，若 $\vec{O M} \cdot \vec{M F_{1}} = 0$ （O为坐标原点）， $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为16，则 $C_{2}$ 的方程为.

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三、解答题

17. 人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0—25dB（分贝），并规定测试值在区间 $(0 ， 5]$ 为非常优秀，测试值在区间 $(5 ， 10]$ 为优秀，某单位25名人员都参加了听力测试，将所得测试值制成如图所示频率分布直方图：

(1)、现从测试值在区间 $(0 ， 10]$ 内的同学中任意抽取2人，其中听力非常优秀的同学人数为X，求X的数学期望；

(2)、现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4.测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ （其中 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 为编号音叉1，2，3，4的一个排列）.记 $Y = | 1 - a_{1} | + | 2 - a_{2} | + | 3 - a_{3} | + | 4 - a_{4} |$ ，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求 $Y \leq 2$ 的概率.

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} > 0$ ， $a_{2} + a_{3} = 20$ ， $a_{4} + a_{5} = 80$ ， $S_{3} = 14$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n - 1} l o g_{2} a_{n}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{n} b_{i}$ .

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， $B C = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A A_{1} = 2$ ， $C_{B} = 2 \sqrt{3}$ ， M为线段 $A B$ 上的动点.

(1)、证明： $C_{1} B ⊥ C M$ ；

(2)、若E为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，求点 $A_{1}$ 到平面 $B C E$ 的距离.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点P，Q为椭圆C上任意两点，且点P， $F_{1}$ ， Q三点共线，若三角形 $P Q F_{2}$ 的周长为8，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设椭圆C外切于矩形 $A B C D$ ，求矩形 $A B C D$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a x + l n x (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在定义域内单调递增，求a的取值范围；

(2)、设 $a > - e - \frac{1}{e}$ ， m，n分别是 $f (x)$ 的极大值和极小值，且 $S = m - n$ ，求S的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 - s i n 2 α \\ y = s i n α - c o s α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线M的极坐标方程为 $ρ = 2 s i n θ$ .

(1)、求曲线C的普通方程和曲线M的直角坐标方程；

(2)、若射线 $l ： θ = θ_{0}$ ， $(θ_{0} \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}] ， ρ ≥ 0)$ 与曲线C，M分别交于点A，B，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 4 | - | 1 - x |$ ， $x \in R$ .

(1)、已知不等式 $f (x) < m$ 无解，求实数m的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 的最大值为M，若正实数a，b满足 $a + b = M$ ，试求： $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 2}$ 的最小值.

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