山东省聊城市2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ x = 2 k - 1 ， k \in Z} ， B = {x ∣ 0 ⩽ x + 1 < 6}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 1 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 3 ， 5}$ D、 ${1 ， 3 ， 5}$

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2. 复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 3 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 根据分类变量 $x$ 与 $y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 6.147$ .依据 $α = 0.01$ 的独立性检验 $(x_{0.01} = 6.635)$ ，结论为（）

A、变量 $x$ 与 $y$ 不独立 B、变量 $x$ 与 $y$ 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 $0.01$ C、变量 $x$ 与 $y$ 独立 D、变量 $x$ 与 $y$ 独立，这个结论犯错误的概率不超过 $0.01$

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5. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{5 \sqrt{2} π}{3}$ C、4π D、8π

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6. 设 $a = s i n 7$ ，则（）

A、 $a^{2} < 2^{a} < l o g_{2} | a |$ B、 $l o g_{2} | a | < 2^{a} < a^{2}$ C、 $a^{2} < l o g_{2} | a | < 2^{a}$ D、 $l o g_{2} | a | < a^{2} < 2^{a}$

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7. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为 $1.2 m g / c m^{3}$ ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少 $20 %$ ，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过 $0.2 m g / c m^{3}$ ，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3 ， l g 3 \approx 0.477$ ）

A、5 B、7 C、8 D、9

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8. 已知正数 $x ， y$ 满足 $y l n x + y l n y = e^{x}$ ，则 $x y - 2 x$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2} l n 2$ B、 $2 - 2 l n 2$ C、 $- \frac{1}{2} l n 2$ D、 $2 + 2 l n 2$

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二、多选题

9. 设 $0 < a < b$ ，且 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $1 < b < 2$ B、 $2^{a - b} > 1$ C、 $a b < 1$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} ⩾ 3$

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9 - k} + \frac{y^{2}}{k - 1} = 1 (0 < k < 1)$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上 B、双曲线 $C$ 的焦距等于 $4 \sqrt{2}$ C、双曲线 $C$ 的焦点到其渐近线的距离等于 $\sqrt{1 - k}$ D、双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为 $(1 ， \frac{\sqrt{10}}{3})$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) + a ， ω > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、若对于任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) ⩽ 1$ 成立，则 $a ⩽ - 1$ B、若对于任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x + π) = f (x)$ 成立，则 $ω = 2$ C、当 $φ = \frac{π}{3}$ 时，若 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{1}{3}]$ D、当 $a = - \sqrt{3}$ 时，若对于任意的 $φ \in R$ ，函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上至少有两个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[4 ， + \infty)$

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12. 在数列 ${a_{n}}$ 中，对于任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n} > 0$ ，且 $a_{n + 1}^{2} - a_{n + 1} = a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、对于任意的 $n \geq 2$ ，都有 $a_{n} > 1$ B、对于任意的 $a_{1} > 0$ ，数列 ${a_{n}}$ 不可能为常数列 C、若 $0 < a_{1} < 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 为递增数列 D、若 $a_{1} > 2$ ，则当 $n \geq 2$ 时， $2 < a_{n} < a_{1}$

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三、填空题

13. 若 $f (x) = 2 s i n (x + φ) - c o s x$ 为奇函数，则 $φ =$ .（填写符合要求的一个值）

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14. 第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”"雪容融”等，小明现有“冬梦”"飞跃”“冰墩墩”"雪容融”邮票各2张，他打算从这8张邮票中任选3张赠送给同学小红，则在选中的3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为.

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15. $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $P$ 是椭圆 $C$ 上异于顶点的一点， $I$ 是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积等于 $△ I F_{1} F_{2}$ 的面积的3倍，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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16. 在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点， $A D = 1 ， A B = 2$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起得到 $△ A^{'} D E$ ，设 $A^{'} C$ 的中点为 $M$ ，若将 $△ A^{'} D E$ 绕 $D E$ 旋转 $9 0^{∘}$ ，则在此过程中动点 $M$ 形成的轨迹长度为.

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对于任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ，且 $S_{6} = 4 a_{5}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = S_{n} c o s n π$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B D < A D ， s i n (\frac{π}{3} - ∠ A) c o s (\frac{π}{6} + ∠ A) = \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、若 $A B = \sqrt{3} ， A D = 3 ， C D = 1 ， ∠ C = 2 ∠ C B D$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 4 ， ∠ B A C = 3 0^{∘}$ ，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形， $E$ 是 $B B_{1}$ 的中点， $C E = \sqrt{5} ， C E ⊥ A C$ .

(1)、求证： $C C_{1} ⊥ A C$ ；

(2)、 $F$ 是线段 $A C_{1}$ 上的点，若平面 $A B C$ 与平面 $C E F$ 的夹角为 $4 5^{∘}$ ，求 $A F$ 的长.

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20. 为了解某车间生产的产品质量，质检员从该车间一天生产的100件产品中，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测.假设这100件产品中有40件次品，60件正品，用 $X$ 表示样本中次品的件数.

(1)、求 $X$ 的分布列（用式子表示）和均值；

(2)、用样本的次品率估计总体的次品率，求误差不超过 $0.1$ 的概率.
参考数据：设 $P (X = k) = p_{k} ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 20$ ，则 $p_{5} = 0.06530 ， p_{6} = 0.12422 ， p_{7} = 0.17972 ， p_{8} = 0.20078$ ， $p_{9} = 0.17483 ， p_{10} = 0.11924 ， p_{11} = 0.06376 ， p_{12} = 0.02667$ .

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21. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线为 $l$ ，点 $P (x_{0} ， \sqrt{2})$ 在 $E$ 上，且 $P$ 到 $l$ 的距离与 $P$ 到原点 $O$ 的距离相等.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、 $A ， B ， C ， D$ 是 $E$ 上异于原点 $O$ 的四个动点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O C} \cdot \vec{O D} = - 4$ ，若 $O M ⊥ A B ， O N ⊥ C D$ ，垂足分别为 $M ， N$ ，求 $| M N |$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = a x - l n x ， g (x) = x^{2} - n x + m$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $0 < a < \frac{1}{4}$ 时，若对于任意的 $x > 0$ ，都有 $f (x) g (x) ⩾ 0$ ，求证： $2 < l n m < \frac{n}{4}$ .

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