江苏省连云港市2022届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 1}$ ， $B = {x | 0 \leq x \leq 3}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 1}$ B、 ${x | - 2 < x \leq 3}$ C、 ${x | 1 < x \leq 3}$ D、 ${x | 0 < x < 1}$

查看试题解析
2. 已知 $(1 + i) z = 2 i$ ，则复数 $z$ 的共轭复数是（）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 - i$

查看试题解析
3. 若不等式 $| x - 1 | < a$ 的一个充分条件为 $0 < x < 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > 0$ B、 $a \geq 0$ C、 $a > 1$ D、 $a \geq 1$

查看试题解析
4. 2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有10支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余9支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规则决出前4名进行半决赛，胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是（）

A、48 B、49 C、93 D、94

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = x (1 + \frac{m}{1 - e^{x}})$ 是偶函数，则 $m$ 的值是（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

查看试题解析
6. 下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2} π}{24}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3} π}{24}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2} π}{12}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3} π}{12}$

查看试题解析
7. 一个二元码是由 $0$ 和 $1$ 组成的数字串 $x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），其中 $x_{k}$ （ $k = 1$ ， $2$ ， $\dots$ ， $n$ ）称为第 $k$ 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 $0$ 变为 $1$ ，或者由 $1$ 变为 $0$ ）.已知某种二元码 $x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{7}$ 的码元满足如下校验方程组： ${\begin{array}{l} x_{4} \oplus x_{5} \oplus x_{6} \oplus x_{7} = 0 \\ x_{2} \oplus x_{3} \oplus x_{6} \oplus x_{7} = 0 \\ x_{1} \oplus x_{3} \oplus x_{5} \oplus x_{7} = 0 \end{array}$ ，其中运算 $\oplus$ 定义为： $0 \oplus 0 = 0$ ， $0 \oplus 1 = 1$ ， $1 \oplus 0 = 1$ ， $1 \oplus 1 = 0$ .已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 $k$ 位发生码元错误后变成了 $1100001$ ，那么用上述校验方程组可判断 $k$ 等于（）

A、4 B、5 C、6 D、7

查看试题解析
8. 直线 $l$ ： $y = - x + 1$ 与抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，圆 $M$ 过两点 $A$ ， $B$ 且与抛物线 $C$ 的准线相切，则圆 $M$ 的半径是（）

A、4 B、10 C、4或10 D、4或12

查看试题解析

二、多选题

9. 一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{10}$ 是公差为 $- 1$ 的等差数列，若去掉首末两项 $x_{1}$ ， $x_{10}$ 后，则（）

A、平均数变大 B、中位数没变 C、方差变小 D、极差没变

查看试题解析
10. $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{A B} = 2 \vec{a}$ ， $\vec{A C} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，则（）

A、 $| \vec{b} | = 2$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ C、 $(4 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{B C}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s^{2} \frac{x}{2} - s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ B、点 $(- \frac{2 π}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、将函数 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度，所得到的函数图象关于 $y$ 轴对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 上单调递减

查看试题解析
12. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $| \vec{A A_{1}} | = 3 | \vec{A B} |$ ， $\vec{B E} = λ \vec{B B_{1}}$ ， $\vec{D F} = μ \vec{D D_{1}}$ ，其中 $0 < λ < 1$ ， $0 < u < 1$ ，则（）

A、存在实数 $λ$ ， $u$ ，使得 $A_{1}$ 在平面 $C E F$ 内 B、不存在实数 $λ$ ， $u$ ，使得直线 $E F$ 与该正四棱柱的12条棱所在直线所成的角都相等 C、存在实数 $λ$ ， $u$ ，使得平面 $C E F$ 截该正四棱柱所得到的截面是五边形 D、不存在实数 $λ$ ， $u$ ，使得平面 $C E F$ 截该正四棱柱所得到的截面是六边形

查看试题解析

三、填空题

13. 函数 $f (x) = 9^{x} + 3^{1 - 2 x}$ 的最小值是.

查看试题解析
14. 若双曲线经过点 $(1 ， \sqrt{3})$ ，其渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则双曲线的方程是.

查看试题解析
15. 某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长8%，则2026年的利润是万元.（结果精确到1万元）

查看试题解析
16. 曲线 $f (x) = x^{i}$ （ $i \geq 2$ ， $i \in N$ ）在 $x = 2$ 处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为 $S_{i}$ ，则 $S_{i} =$ ， $\sum_{i = 2}^{n + 1} i S_{i} =$ .

查看试题解析

四、解答题

17. 若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 5$ ，对于任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 2} = 6 a_{n + 1} - 9 a_{n}$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n + 1} - 3 a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

查看试题解析
18. 为研究某种疫苗的效果，对200名志愿者进行了试验，得到如下数据.

未感染病毒
感染病毒
合计
接种
80
20
100
未接种
60
40
100
合计
140
60
200
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$P$ （ $K^{2} \geq k_{0}$ ）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、根据200名志愿者的数据，问：能否有99%的把握认为疫苗有效？

(2)、现从接种的100名志愿者中按分层抽样方法取出15人，再从这15人中随机抽取3人，求至少有1人感染的概率.

查看试题解析
19. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ C A D = ∠ B A C = 60 °$ ， $∠ D C B = 150 °$ ， $B D = \sqrt{13}$ ， $B C = 2$ .

(1)、求 $△ D C B$ 的面积；

(2)、求 $A C$ 的长.

查看试题解析
20. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 是正三角形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B D ⊥ C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $D C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A C D ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、若 $∠ B C D = 60 °$ ，点 $G$ 是线段 $B D$ 上的动点，问：点 $G$ 运动到何处时，平面 $A E G$ 与平面 $A C D$ 所成的锐二面角最小.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - 2 l n x$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = f (x^{2}) - 8 b f (x)$ ，当 $x > 1$ 时， $g (x) > 0$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知圆 $M$ 与圆 $F_{1}$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 外切，同时与圆 $F_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 49$ 内切.

(1)、说明动点 $M$ 的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；

(2)、设动点 $M$ 的轨迹是曲线 $C$ ，直线 $l_{1}$ ： $3 x - 2 y = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 是线段 $A B$ 上任意一点（不包含端点），直线 $l_{2}$ 过点 $P$ ，且与曲线 $C$ 交于 $E$ ， $F$ 两点，若 $\frac{{| E F |}^{2}}{| P A | \cdot | P B |}$ 为定值，证明： $| P E | = | P F |$ .

查看试题解析

	未感染病毒	感染病毒	合计
接种	80	20	100
未接种	60	40	100
合计	140	60	200

$P$ （ $K^{2} \geq k_{0}$ ）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635