湖北省新高考协作体2022届高三下学期数学3月质量检测巩固试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z - i = i z + 3$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z =$ （）

A、 $- 1 - 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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2. 设集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 2} ， B = {x ∣ x^{2} - 4 x ⩽ 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、(-2，4] B、(-2，4) C、(0，2) D、[0，2)

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3. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线 $B O$ 交椭圆于点C，O为原点.若直线BF平分线段AC，则 $\frac{b}{a}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 若 $a = l o g_{2} 3 \cdot l o g_{3} 5$ ， $b = l o g_{\sqrt{2}} \frac{9}{4}$ ， $c = 2^{0.99}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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5. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = \sqrt{6}$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ，则该棱锥外接球的体积为（）

A、4π B、 $\frac{32 π}{3}$ C、16π D、 $\frac{16 π}{3}$

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6. 两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（）
窗口
1
2
过道
3
4
窗口
5
6
7
8
9
10
11
12
…
…
…
…

A、74，75 B、52，53 C、45，46 D、38，39

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7. 若 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $2 b c o s B c o s A + a c o s 2 B = 2 a$ ，则当 $t a n A$ 取最大值时， $t a n 2 B =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、4

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8. 已知 $- 4 < a < 1$ ，且 $x \geq 0$ 时， $3 e^{4 x} + 208 \geq 4 {(x - a)}^{3}$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值是（）

A、 $l n 3 - 4$ B、 $l n 3$ C、 $l n 2$ D、 $l n 2 - 4$

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二、多选题

9. 将函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x s i n φ + s i n 2 x c o s φ - s i n φ$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，与函数 $g (x) = c o s (ω x - \frac{π}{3})$ 的图象重合，则 $φ$ 的值可能为（）

A、 $- \frac{3 π}{2}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $- \frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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10. 某企业2020年12个月的收入与支出数据的折线图如下∶
已知∶利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）

A、该企业2020年1月至6月的总利润低于2020年7月至12月的总利润 B、该企业2020年1月至6月的平均收入低于2020年7月至12月的平均收入 C、该企业2020年8月至12月的支出持续增长 D、该企业2020年11月份的月利润最大

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11. 对于实数a，b，m，下列说法正确的是（）

A、若 $a m^{2} > b m^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $b > a$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ C、若 $a > b > 0$ 且 $| l n a | = | l n b |$ ，则 $2 a + b \in (3 ， + \infty)$ D、若 $b > a > e$ ，则 $a^{b} > b^{a}$

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12. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = B C = 1$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $E$ 是侧棱 $B B_{1}$ 上的一个动点，则下列判断正确的是（）

A、直三棱柱侧面积是 $4 + 2 \sqrt{2}$ B、直三棱柱外接球的体积为 $\sqrt{6} π$ C、存在点 $E$ ，使得 $∠ A_{1} E A$ 为钝角 D、 $A E + E A_{1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{5}$ ， $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2 \sqrt{5}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14. 若函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x}$ 的图象在点 $P (1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = m x + m (m \in R)$ ，则实数 $a =$ .

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15. 将5名实习老师分配到3个班级任课，每班至少1人、至多2人，则不同的分配方法数是.（用数字作答）.

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16. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， F是双曲线C的右焦点，点A是双曲线C的左支上的一点，点B为圆D： $x^{2} + {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} = 3$ 上一点，则 $| A B | + | A F |$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．已知 $a_{1} = a$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + 3^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．
（Ⅰ）设 $b_{n} = S_{n} - 3^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若 $a_{n + 1} \geq a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，求 $a$ 的取值范围．。

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， A D$ 为 $△ A B C$ 的中线， $c = 2 \sqrt{5} ， c o s B = \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， 2 b^{2} = (b^{2} + c^{2} - a^{2}) (1 - t a n A)$

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $A D$ 的长.

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19. 为了解学生在学校月消费情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中男生占 $\frac{3}{5}$ ，月消费金额（单位：元）分布在450～950之间.根据调查的结果绘制了学生在校月消费金额的频率分布直方图：
将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”.

(1)、若样本中属于“高消费群”的女生有15人，完成下列2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为该校学生是否属于“高消费群”与“性别”有关?

属于“高消费群”
不属于“高消费群”
合计
男
女
合计

(2)、将频率视为概率，从该学校中随机抽取3名学生，设被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.
附参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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20. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 6 0^{∘}$ ， $A B = \frac{1}{2} A A_{1} = 2$ ， $E$ 、 $F$ 分别是线段 $A A_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B D ⊥ C E$ ；

(2)、求平面 $A B C D$ 与平面 $C E F$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点 $M (\frac{3}{2} ， y)$ 是抛物线 $C$ 上的一点，点 $M$ 到焦点的距离为2.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 为圆 $E$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的任意一点，过点Р作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求点О到直线AB距离的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} - 6 x + 6 a l n x (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有且仅有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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	属于“高消费群”	不属于“高消费群”	合计
男
女
合计

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

窗口	1	2	过道	3	4	窗口
	5	6		7	8
	9	10		11	12
	…	…		…	…