河南省郑州市2022届高三理数第二次质量预测试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} = 2 x}$ ，集合 $B = {x \in Z | 0 < x < 3}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${x | 0 < x < 3}$ D、 ${x | 0 \leq x < 3}$

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2. 已知i是虚数单位，若 $z = \frac{1 + i}{1 - i} - 3 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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3. 设 $a = 2^{0.2}$ ， $b = s i n \frac{2 π}{3}$ ， $c = l o g_{2} 5$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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4. 在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（）

A、9.5 尺 B、10.5 尺 C、11.5 尺 D、12.5 尺

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5. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A A_{1}$ ， $M$ 是 $A A_{1}$ 的中点，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $B M$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{85}}{85}$

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6. $(2 x^{2} - \frac{a}{x}) {(x - \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为（）

A、−32 B、32 C、−64 D、64

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7. 函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ ， $ω = \frac{7 π}{3}$ B、 $y = f (x + 2)$ 是奇函数 C、直线 $x = - 4$ 是 $f (x)$ 的对称轴 D、函数 $f (x)$ 在 $[3 ， 4]$ 上单调递减

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8. 某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（）

A、240种 B、480种 C、540种 D、720种

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9. 若平面上两点A（−2，0），B（1，0），动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹与直线l： $y = k (x - 2)$ 的公共点的个数为（）

A、2 B、1 C、0 D、与实数k的取值有关

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10. 2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 $N = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{5730}}$ （ $N_{0}$ 表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 至 $\frac{3}{4}$ ，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（）（参考数据： $l o g_{2} 3 \approx 1.6$ ）

A、2600年 B、3100年 C、3200年 D、3300年

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11. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的左右焦点，点 $A$ 在双曲线的右支上，点 $P (\sqrt{5} ， 2)$ 是平面内一定点，若对任何实数 $m$ ，直线 $2 x + y + m = 0$ 与双曲线 $C$ 至多有一个公共点，则 $| A P | + | A F_{2} |$ 的最小值（）

A、 $2 \sqrt{6} - 4$ B、 $3 \sqrt{5} - 4$ C、 $2 \sqrt{6} - 2$ D、 $2 \sqrt{5} - 2$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 2$ ， $a_{2 n} = a_{2 n - 1} + 2^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）， $a_{2 n + 1} = a_{2 n} + {(- 1)}^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），则数列 ${a_{n}}$ 第2022项为（）

A、 $2^{1012} - 2$ B、 $2^{1012} - 3$ C、 $2^{1011} - 2$ D、 $2^{1011} - 1$

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二、填空题

13. 曲线 $y = s i n x - 2 c o s x$ 在点（ $π$ ， 2）处的切线方程是．

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F₁PF₂的面积为．

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15. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝2，将△ACD沿AC折叠形成三棱锥D₁−ABC．当三棱锥D₁−ABC体积最大时，则此时三棱锥外接球体积为．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2$ ， $g (x) = x^{2} + a x$ （ $a \in R$ ）， $h (x) = k x - 2 k + 1$ （ $k \in R$ ），给出下列四个命题，其中真命题有．（写出所有真命题的序号）
①存在实数k，使得方程 $| f (x) | = h (x)$ 恰有一个根；
②存在实数k，使得方程 $| f (x) | = h (x)$ 恰有三个根；
③任意实数a，存在不相等的实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = g (x_{1}) - g (x_{2})$ ；
④任意实数a，存在不相等的实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = g (x_{2}) - g (x_{1})$ ．

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三、解答题

17. 随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的 $\frac{3}{4}$ ，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣．

(1)、完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？

有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
合计

(2)、该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛，选拔赛共有两轮，两轮都获胜选拔才能通过．已知甲在每轮比赛获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{4}{7}$ ，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和 $\frac{4}{3} - p$ ，其中 $0 < p < \frac{2}{3}$ （ $p \in R$ ），判断甲，乙，丙三人谁通过选拔的可能性最大，并说明理由．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设 $a s i n B = b c o s (A - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．

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19. 如图，四棱台ABCD−A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AB＝AA₁＝2A₁D₁＝2，∠ABC＝60°，平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，平面ABB₁A₁⊥平面ABCD．

(1)、求证：AA₁⊥平面ABCD；

(2)、求锐二面角A−DD₁−C的正切值．

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20. 已知抛物线C： $x^{2} = 4 y$ ，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切点．

(1)、若点N的纵坐标为 $- 2$ ，求证：直线AB恒过定点；

(2)、若 $| A B | ＝ m$ $（ m > 0 ）$ ，求△ABN面积的最大值（结果用m表示）．

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21. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) - x + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设函数 $g (x) = a e^{x} - x + l n a$ ，若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 有两个零点，求实数a的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + c o s α \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．已知M是曲线C₁上的动点，将OM绕点O逆时针旋转90°得到ON，设点N的轨迹为曲线C₂ ．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线C₁ ， C₂的极坐标方程；

(2)、设点Q（1，0），若射线l： $θ = \frac{π}{3}$ 与曲线C₁ ， C₂分别相交于异于极点O的A，B两点，求△ABQ的面积．

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23. 已知 $f (x) = | x - a |$ ．

(1)、若 $f (x) \geq | 2 x - 1 |$ 的解集为 $[0 ， 2]$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若对于任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (x) + | x + 2 a | > 2 a + 3$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	有兴趣	没有兴趣	合计
男
女
合计