河南省豫北重点高中2021-2022学年高三下学期理数3月质量检测试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = i (1 - i)$ （其中i为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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2. 已知集合 $A = {x | 2^{x} > \frac{1}{2}} ， B = [a ， a + 4]$ ，若 $A ∩ B = (- 1 ， 2]$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、-1 C、-2 D、-5

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3. 某商场举办返利活动，凡购物满200元的顾客，可有机会进行一次抽奖．已知每次抽奖获得一等奖的概率为 $\frac{1}{6}$ ，获得二等奖的概率为 $\frac{1}{3}$ ，获得三等奖的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若一位顾客连续抽奖两次，则恰好抽到一次一等奖和一次二等奖的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{18}$ D、 $\frac{1}{9}$

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4. 已知 $a = l o g_{\sqrt{e}} 3$ ， $b = l g 100$ ， $c = 2^{0.99}$ 则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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5. 已知点A为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的动点，以点A为圆心的圆M与y轴相切，抛物线的焦点为F，线段 $A F$ 与圆M相交于点P，则 $| P F | =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“ $b = 2 a c o s C$ ”是“ $a = c$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 函数 $f (x) = 2 f^{'} (1) \cdot x + x l n x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = 2 x + 1$ C、 $y = - x - 1$ D、 $y = x - 1$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (φ \in (0 ， \frac{π}{3}))$ ，若 $f (φ) = f (2 φ)$ ，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{4}$

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9. 在 $(x + 1)^{3} \cdot (\frac{1}{x} + 1)^{5}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数为（）

A、12 B、10 C、9 D、8

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10. 奔驰汽车是德国的汽车品牌，奔驰汽车车标的平面图如图（1），图（2）是工业设计中按比例放缩的奔驰汽车车标的图纸．若向图（1）内随机投入一点，则此点取自图中黑色部分的概率约为（）

A、0.108 B、0.237 C、0.251 D、0.526

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11. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 的展开图为四边形 $A D F E$ ，已知 $D F = E F = 2 \sqrt{5}$ ， $A B = A C = \sqrt{10}$ ， $B C = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = c o s x + e^{x} + e^{- x} - \frac{1}{2} x^{2}$ ，则关于x的不等式 $f (2 x - 1) < f (3 + x)$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- \frac{2}{3} ， 4)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{2}{3}) ∪ (4 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ y \geq - 1 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为．

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14. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = 4 \vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右顶点为 $A$ 、 $B$ ，若该双曲线上存在点 $P$ ，使得直线 $P A$ 、 $P B$ 的斜率之和为 $1$ ，则该双曲线离心率的取值范围为．

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16. 如图，在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，且存在一个半径为 $r$ 的球，与该正四棱台的各个面均相切．设该正四棱台的外接球半径为R，则 $\frac{R}{r} =$ ．

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q \in (0 ， 1)$ ，且 $a_{1} + q = 1$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、证明： $S_{n} < 1$ ；

(2)、若 $a_{1} = q ， b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为 $\frac{1}{3}$ （每场单打比赛不考虑平局的情况）．

(1)、求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率；

(2)、设比赛结束后甲队的得分为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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19. 如图， $O$ ， $O_{1}$ 是圆柱底面的圆心， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C$ ，均为圆柱的母线， $A B$ 是底面直径，E为 $A A_{1}$ 的中点．已知 $A B = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $A C_{1} ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、求锐二面角 $C - B E - A$ 的大小．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l ： y = k x + t$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．已知 $△ A B F_{2}$ 周长的最大值为 $8$ ，且当 $k = 1$ ， $t = 0$ 时， $| A B | = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $△ A B O$ 的面积为 $S$ ，若 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，求 $S$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} + a x (a \in R)$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数．

(1)、设 $f (x)$ 的极小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最大值；

(2)、若存在 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $x_{1} + x_{2} = 2$ ，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = c o s α + c o s t \\ y = s i n α + s i n t \end{array}$ ，（其中 $t$ 是参数， $α \in [0 ， 2 π)$ ）．以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 4 ρ c o s θ + 3 = 0$ ．

(1)、证明：曲线 $C_{1}$ 过定点；

(2)、若曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 无公共点，求 $c o s α$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 4 | + | x - 1 |$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $a \geq 4$ 时，证明：对任意的 $x \in [- 2 ， 1]$ ， $f (x - a) \geq f (x)$ 恒成立．

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