广西柳州市2022届高三第三次理数模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $U = {x | 0 < x < 5 ， x \in N}$ ， $M = {x | x^{2} - 5 x + 6 = 0}$ ，则 $∁_{U} M =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${1 ， 5}$ C、 ${1 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 5}$

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2. 已知i为虚数单位，则 $z = \frac{1 - i}{2 i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 不等式“ $l o g_{3} x > 1$ ”是“ ${(\frac{1}{2})}^{x} < 1$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知随机变量 $ξ ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，若函数 $f (x) = P (x \leq ξ \leq x + 2)$ 为偶函数，则 $μ =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、-1

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5. 某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（）

A、在被抽取的学生中，成绩在区间 $[90 ， 100)$ 内的学生有10人 B、这100名学生成绩的众数为85 C、估计全校学生成绩的平均分数为78 D、这100名学生成绩的中位数为80

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6. 如图（1），沿对角线 $B D$ 将矩形折叠，连接 $A C$ ，所得三棱锥 $A - B C D$ 正视图和俯视图如图（2），则三棱锥A-BCD的侧视图为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 将函数 $y = s i n 2 x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度得到 $y = f (x)$ 的图象.若函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{12}]$ B、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{4}]$ D、 $[\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$

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8. 我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1， $\frac{1}{2} ， \frac{1}{3} ， \frac{1}{4} ， \dots ， \frac{1}{n}$ ．
第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a₁ ， a₂ ， a₃ ， …，an．
则a₁a₂＋a₂a₃＋…＋an_－₁an等于（）

A、n² B、(n－1)² C、n(n－1) D、n(n＋1)

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9. 如图， $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左､右两支分别交于点 $A$ ､ $B$ ，若 $△ A B F_{2}$ 为以 $F_{2}$ 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、4 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 的奇函数，若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + ∞)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，且 $f (1) = 2$ ，则不等式 $f (x) > 2 x$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 0) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$

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11. 高三（1）班数学老师和同学们进行一个游戏，游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的 $5$ 名同学并按顺序排好，每位同学手里均有 $5$ 张除颜色外无其他区别的卡片，第 $k (k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ 位同学手中有 $k$ 张红色卡片， $5 - k$ 张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则老师获胜，否则学生获胜.则老师获胜的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12. 若曲线 $f (x) = e^{x} - x$ 在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线方程为 $y = k x + b$ ，则 $k + b$ 的最大值为（）

A、 $e - 1$ B、1 C、 $e + 1$ D、 $e$

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (- k ， 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $| 3 \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ .

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14. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ､ $B$ 两点，则以线段 $A B$ 为直径的圆被 $y$ 轴所截得的弦长为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ，则 $a_{5} =$ .

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16. 已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.在等腰四面体 $A - B C D$ 中， $A B = A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则该四面体的内切球表面积为.

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三、解答题

17. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 $\sqrt{3} b s i n (\frac{π}{2} + A) = a s i n B$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．

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18. 某公司拟对某种材料进行应用改造，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本 $y$ （元）与生产该产品的数量 $x$ （千件）有关，经统计得到如下数据：
$x$
1
2
3
4
5
6
7
8
$y$
112
61
44.5
35
30.5
28
25
24
对历史数据对比分析，考虑用函数模型① $y = a + \frac{b}{x}$ ， ② $y = c e^{d x}$ 分别对两个变量的关系进行拟合，令模型①中 $u = \frac{1}{x}$ 上，模型②中 $w = l n y$ ，对数据作了初步处理，已计算得到如下数据：
$\bar{u}$
$\bar{y}$
${\bar{u}}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{8} y_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{8} u_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{8} u_{i} y_{i}$
$\sqrt{0.61 \times 6185.5}$
$e^{- 2}$
0.34
45
0.115
22385.5
1.53
183.4
61.4
0.135
参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ， …， $(u_{n} ， v_{n})$ 其回归直线 $\hat{v} = \hat{a} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \cdot \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \hat{v} - \hat{β} \bar{u}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \cdot \bar{v}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}) \cdot (\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2})}}$ .

(1)、设 $u$ 和 $y$ 的样本相关系数为 $r_{1}$ ， $x$ 和 $w$ 的样本相关系数为 $r_{2}$ ，已经计算得出 $r_{2} = - 0.94$ ，请从样本相关系数（精确到0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好？

(2)、根据（1）的选择及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的非线性回归方程，并用其估计当每件产品的非原料成本为21元时，产量约为多少千件？

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19. 已知四棱锥 $A - B C E F$ 中， $B F / / C E$ ， $C E ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M$ 为 $A E$ 三等分点（靠近 $A$ 点）， $A B = B C = C E = 3$ ， $B F = 1$ ， $A C = 3 \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $F M / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求二面角 $M - F B - A$ 的余弦值.

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20. 若 $f (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - b x + 2 a l n x$ .

(1)、当 $a > 0$ ， $b = a$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $b = 0$ ，且 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 1$ .

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21. 已知点 $A (2 ， \sqrt{3})$ ，点 $B (- 2 ， - \sqrt{3})$ ，点M与y轴的距离记为d，且点M满足： $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = \frac{d^{2}}{4} - 1$ ，记点M的轨迹为曲线W．

(1)、求曲线W的方程；

(2)、设点P为x轴上除原点O外的一点，过点P作直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 交曲线W于点C，D， $l_{2}$ 交曲线W于点E，F，G，H分别为CD，EF的中点，过点P作x轴的垂线交GH于点N，设CD，EF，ON的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 的，求证： $k_{3} (k_{1} + k_{2})$ 为定值．

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22. 如图，在极坐标系中，已知点 $M (4 ， 0)$ ，曲线 $C_{1}$ 是以极点O为圆心，以OM为半径的半圆，曲线 $C_{2}$ 是过极点且与曲线 $C_{1}$ 相切于点 $(4 ， \frac{π}{2})$ 的圆．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $θ = α (0 < α < π ， ρ \in R)$ 与曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别相交于点A，B（异于极点），求△ABM面积的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | - | x + a^{2} |$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求不等式 $f (x) < x$ 的解集；

(2)、若 $\exists x \in R$ ， $\exists a \in [0 ， 2]$ 使得 $f (2 x) > m$ 能成立，求实数m的取值范围．

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$\bar{u}$	$\bar{y}$	${\bar{u}}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{8} y_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{8} u_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{8} u_{i} y_{i}$	$\sqrt{0.61 \times 6185.5}$	$e^{- 2}$
0.34	45	0.115	22385.5	1.53	183.4	61.4	0.135

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8
$y$	112	61	44.5	35	30.5	28	25	24