广东省2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = (2 + i) (1 - 2 i)$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、2 $\sqrt{3}$ D、4

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3. 已知 $α$ 为锐角，且 $c o s (α + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}$ ，则 $c o s (α + \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（）（参考数值： $π \approx 3.14$ ）

A、20.10m B、19.94m C、19.63m D、19.47m

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5. 从集合 $U = {1 ， 2 ， 3}$ 的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则 $A ∩ B = {1}$ 的概率为（）

A、 $\frac{4}{21}$ B、 $\frac{5}{42}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{5}{56}$

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6. 已知函数 $f (x) = l n | x |$ ， $g (x) = e^{x} - e^{- x}$ ，则图象如图的函数可能是（）

A、 $f (x) + g (x)$ B、 $f (x) - g (x)$ C、 $f (x) g (x)$ D、 $\frac{f (x)}{g (x)}$

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7. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A$ 是双曲线 $C$ 的右顶点，点 $P$ 在过点 $A$ 且斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的直线上， $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形， $∠ F_{1} F_{2} P = 120 °$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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8. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = n^{\frac{1}{n}} (n \in N^{*})$ ，当 $a_{n}$ 最大时， $n$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、多选题

9. 设 $m$ ， $n$ 为不同的直线， $α$ ， $β$ 为不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α$ ， $m \subset β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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10. 中国正在从电影大国迈向电影强国.下面是2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片（含合拍片）与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是（）

A、2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于 $50 %$ B、2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高 C、2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数 D、2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{4} = 5$ B、 ${a_{n}}$ 为等比数列 C、 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{2021} = 2^{2022} - 3$ D、 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{2022} = \frac{2^{2023} - 2}{3}$

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，抛物线C上存在n个点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $⋯$ ， $P_{n}$ （ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ）满足 $∠ P_{1} F P_{2} = ∠ P_{2} F P_{3} = ⋯ = ∠ P_{n - 1} F P_{n} = ∠ P_{n} F P_{1} = \frac{2 π}{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $n = 2$ 时， $\frac{1}{| P_{1} F |} + \frac{1}{| P_{2} F |} = 2$ B、 $n = 3$ 时， $| P_{1} F | + | P_{2} F | + | P_{3} F |$ 的最小值为9 C、 $n = 4$ 时， $\frac{1}{| P_{1} F | + | P_{3} F |} + \frac{1}{| P_{2} F | + | P_{4} F |} = \frac{1}{4}$ D、 $n = 4$ 时， $| P_{1} F | + | P_{2} F | + | P_{3} F | + | P_{4} F |$ 的最小值为8

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三、填空题

13. 二项式 $(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^{6}$ 展开式中的常数项为.

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14. 如图为四棱锥 $A - D E F G$ 的侧面展开图（点 $G_{1}$ ， $G_{2}$ 重合为点 $G$ ），其中 $A D = A F$ ， $G_{1} D = G_{2} F$ ， $E$ 是线段 $D F$ 的中点，请写出四棱锥 $A - D E F G$ 中一对一定相互垂直的异面直线：.（填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）

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15. 如图，已知扇形 $A O B$ 的半径为 $10$ ，以 $O$ 为原点建立平面直角坐标系， $\vec{O A} = (10 ， 0)$ ， $\vec{O B} = (6 ， 8)$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点 $C$ 的坐标为.

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16. 已知直线 $y = t$ 分别与函数 $f (x) = 2 x + 1$ 和 $g (x) = 2 l n x + x$ 的图象交于点A，B，则 $| A B |$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，下面给出有关 $△ A B C$ 的三个论断：① $a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c$ ；② $c = 2 b c o s B$ ；③ $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C = b + c$ .
化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出所有可能的真命题.（不必证明）

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18. 如图， $A B C D$ 为圆柱 $O O^{'}$ 的轴截面， $E F$ 是圆柱上异于 $A D$ ， $B C$ 的母线.

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面DEF；

(2)、若 $A B = B C = 2$ ，当三棱锥 $B - D E F$ 的体积最大时，求二面角 $B - D F - E$ 的余弦值.

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ ，其前n项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} (2 S_{n} - a_{n}) = 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 ${S_{n}^{2}}$ 是等差数列，并求出 $S_{n}$ 的表达式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 中是否存在连续三项 $a_{k}$ ， $a_{k + 1}$ ， $a_{k + 2}$ ，使得 $\frac{1}{a_{k}}$ ， $\frac{1}{a_{k + 1}}$ ， $\frac{1}{a_{k + 2}}$ 构成等差数列？请说明理由.

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20. 小王每天17：00—18：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种.已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表：
前一天
当天
篮球
羽毛球
游泳
篮球
0.5
0.2
0.3
羽毛球
0.3
0.1
0.6
游泳
0.3
0.6
0.1

(1)、已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？

(2)、已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：
运动项目
篮球
羽毛球
游泳
能量消耗/卡
500
400
600
求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望.

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21. 已知 $f (x) = l n x + a x + 1 (a \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.

(1)、若对任意 $x > 0$ 都有 $f (x) \leq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，证明：对任意常数 $a$ ，存在唯一的 $x_{0} \in (x_{1} ， x_{2})$ ，使得 $f^{'} (x_{0}) = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ 成立.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其右焦点为 $F (\sqrt{3} ， 0)$ ，点M在圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 上但不在 $y$ 轴上，过点 $M$ 作圆的切线交椭圆于 $P$ ， $Q$ 两点，当点 $M$ 在 $x$ 轴上时， $| P Q | = \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、当点 $M$ 在圆上运动时，试探究 $△ F P Q$ 周长的取值范围.

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前一天	当天
前一天	篮球	羽毛球	游泳
篮球	0.5	0.2	0.3
羽毛球	0.3	0.1	0.6
游泳	0.3	0.6	0.1

运动项目	篮球	羽毛球	游泳
能量消耗/卡	500	400	600