福建省2022届高三数学诊断性检测试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in Z ∣ x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. ${(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{5}$ 的展开式中的常数项为（）

A、-160 B、-80 C、80 D、160

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3. 设复数 $z_{1} ， z_{2} ， z_{3}$ 满足 $z_{3} \neq 0$ ，且 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则（）

A、 $z_{1} = \pm z_{2}$ B、 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ C、 $z_{1} \cdot z_{3} = z_{2} \cdot z_{3}$ D、 $| z_{1} \cdot z_{3} | = | z_{2} \cdot z_{3} |$

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4. 若 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，则“ $a + b < 2$ ”的一个必要不充分条件是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 1$ B、 $a b < 1$ C、 $a^{2} + b^{2} < 2$ D、 $\sqrt{a} < \sqrt{2 - b}$

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5. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 $L = L_{0} D^{\frac{G}{G_{0}}}$ ，其中 $L$ 表示每一轮优化时使用的学习率， $L_{0}$ 表示初始学习率， $D$ 表示衰减系数， $G$ 表示训练迭代轮数， $G_{0}$ 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含 $0.05$ ）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、11 B、22 C、227 D、481

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6. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线交 $C$ 于A， $B$ 两点，线段 $A B$ 中点的纵坐标为 $\sqrt{3}$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{8}{3}$ B、4 C、8 D、24

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7. 关于函数 $f (x) = A s i n (2 x + φ)$ ，有下列四个命题：
甲： $f (x)$ 在 $(5 π ， \frac{27 π}{5})$ 单调递增；
乙： $- \frac{π}{6}$ 是 $f (x)$ 的一个极小值点：
丙： $\frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 的一个极大值点；
丁：函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后所得图象关于 $y$ 轴对称.
其中只有一个是假命题，则该命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且函数 $y = f (x + 1) - 1$ 是奇函数，当 $x < \frac{1}{2}$ 时， $f (x) = l n (1 - 2 x)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线方程是（）

A、 $y = x - 4$ B、 $y = x$ C、 $y = - 2 x + 2$ D、 $y = - 2 x + 6$

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二、多选题

9. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高 $ξ$ （单位： $c m$ ）近似服从正态分布 $N (100 ， 1 0^{2})$ .已知 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ 时，有 $P (| X - μ | \leq σ) \approx 0.6827$ ， $P (| X - μ | \leq 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (| X - μ | \leq 3 σ) \approx 0.9973$ .下列说法正确的是（）

A、该地水稻的平均株高约为 $100 c m$ B、该地水稻株高的方差约为100 C、该地株高超过 $110 c m$ 的水稻约占68.27％ D、该地株高低于 $130 c m$ 的水稻约占99.87％

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10. 若 $α ， β$ 满足 $s i n α = - \frac{1}{2}$ ， $c o s (α - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $β$ 可以是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、π

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别为棱 $A B$ ， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点， $Q \in$ 平面 $M N P$ ， $B_{1} Q = A B$ ，直线 $B_{1} Q$ 和直线 $M N$ 所成角为 $θ$ ，则（）

A、 $M N ∥ A C$ B、 $θ$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ C、 $A$ ， $M$ ， $N$ ， $P$ 四点共面 D、 $P Q ∥$ 平面 $A C D_{1}$

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12. 已知 $△ A_{n} B_{n} C_{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ 是直角三角形， $A_{n}$ 是直角，内角 $A_{n}$ 、 $B_{n}$ 、 $C_{n}$ 所对的边分别为 $a_{n}$ 、 $b_{n}$ 、 $c_{n}$ ，面积为 $S_{n}$ ，若 $b_{1} = 4$ ， $c_{1} = 3$ ， $b_{n + 1}^{2} = \frac{a_{n + 1}^{2} + c_{n}^{2}}{3}$ ， $c_{n + 1}^{2} = \frac{a_{n + 1}^{2} + b_{n}^{2}}{3}$ ，则（）

A、 ${S_{2 n}}$ 是递增数列 B、 ${S_{2 n - 1}}$ 是递减数列 C、 ${b_{n} - c_{n}}$ 存在最大项 D、 ${b_{n} - c_{n}}$ 存在最小项

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的两个单位向量，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为.

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14. 直线 $y = a (x + 2)$ 与曲线 $x^{2} - y | y | = 1$ 恰有2个公共点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x) =$ .
①定义域为 $R$ ；②值域为 $(- \infty ， 1)$ ；③对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，均有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ .

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16. 《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果.《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等，该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为 $4 \sqrt{6} c m$ ，下底直径为 $6 c m$ ，上下底面间的距离为 $3 c m$ ，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是 $c m$ ；卧足杯的容积是 $c m^{3}$ （杯的厚度忽略不计）.

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $- 2$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 2} ， S_{n} ， S_{n + 1}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = [\frac{n + 1}{2}]$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前10项和 $T_{10}$ .（ $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）

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18. 冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中 $20 k m$ 男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈 $4 k m$ ），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有 $n$ 发子弹未命中目标，将被罚时 $n$ 分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为 $\frac{4}{5}$ 和 $\frac{3}{4}$ .假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.

(1)、若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；

(2)、若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.

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19. 如图，在三棱锥 $V - A B C$ 中， $△ V A B$ 和 $△ A B C$ 均是边长为4的等边三角形. $P$ 是棱 $V A$ 上的点， $V P = \frac{2}{3} V A$ ，过 $P$ 的平面 $α$ 与直线 $V C$ 垂直，且平面 $α ∩$ 平面 $V A B = l$ .

(1)、在图中画出 $l$ ，写出画法并说明理由；

(2)、若直线 $V C$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求过 $l$ 及点 $C$ 的平面与平面 $A B C$ 所成的锐二面角的余弦值。

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20. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $a = 6$ ， $b + 12 c o s B = 2 c$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、 $M$ 为 $△ A B C$ 内一点， $A M$ 的延长线交 $B C$ 于点 $D$ ， _________，求 $△ A B C$ 的面积.
请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 $△ A B C$ 存在，并解决问题.

① $M$ 为 $△ A B C$ 的外心， $A M = 4$ ；

② $M$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $M D = \sqrt{3}$ ；

③ $M$ 为 $△ A B C$ 的内心， $A D = 3 \sqrt{3}$ .

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21. 已知椭圆 $C$ 的中心为 $O$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .圆 $O$ 在 $C$ 的内部，半径为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ . $P$ ， $Q$ 分别为 $C$ 和圆 $O$ 上的动点，且 $P$ ， $Q$ 两点的最小距离为 $1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

(1)、建立适当的坐标系，求 $C$ 的方程；

(2)、 $A$ ， $B$ 是 $C$ 上不同的两点，且直线 $A B$ 与以 $O A$ 为直径的圆的一个交点在圆 $O$ 上.求证：以 $A B$ 为直径的圆过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{a + 1}{x}$ ， $g (x) = a (x - 2) e^{1 - x} - 1$ ，其中 $a \in$ R.

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $0 < a < \frac{5}{3}$ 时，是否存在 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $f (x_{i}) = g (x_{i}) (i = 1 ， 2)$ ？证明你的结论.

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