北京市门头沟区2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 4 ， - 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {x | x^{2} < 9}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 $(- 3 ， 3)$

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2. 复数 $z = (- 1 + i) (2 + i)$ 对应的点在复平面内的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 函数 $f (x)$ 的图象与函数 $y = l o g_{2} x$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $f (- 2) =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、4 D、 $1$

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4. 若点 $M (1 ， 1)$ 为圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 的弦 $A B$ 的中点，则直线 $A B$ 的方程是（）

A、 $x - y - 2 = 0$ B、 $x + y - 2 = 0$ C、 $x - y = 0$ D、 $x + y = 0$

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5. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ ， $O$ 为坐标原点，过其焦点的直线 $l$ 与抛物线相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 10$ ，则 $A B$ 中点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为（）

A、2 B、3 C、5 D、6

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6. 已知 $a = l o g_{3} 2$ ， $b = 2^{0.1}$ ， $c = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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7. “角 $α ， β$ 的终边关于原点 $O$ 对称”是“ $c o s (α - β) = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知 $D$ 是边长为 $2$ 的正△ $A B C$ 边 $B C$ 上的动点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{3} ， 4]$ B、 $[\sqrt{3} ， 2]$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $[2 ， 4]$

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9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，交双曲线右支于 $M$ ，若 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{4}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \sqrt{5} x$

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10. 新型冠状病毒肺炎（ $C O V I D - 19$ ）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为 $i (t) = \frac{2500}{1 + 9 e^{- 0.2 t}}$ （ $i (t)$ 表示自4月20日开始 $t$ （单位：天）时刻累计感染人数， $i (t)$ 的导数 $i^{'} (t)$ 表示 $t$ 时刻的新增病例数， $l n 9 \approx 2.1972$ ），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（）

A、4月30日~5月2日 B、5月3日~5月5日 C、5月6日~5月8日 D、5月9日~5月11日

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二、填空题

11. 在 $(2 x^{2} - 1)^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数为．（用数字作答）

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12. 请举出一个各项均为正数且公差不为 $0$ 的等差数列 ${a_{n}}$ ，使得它的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足：数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 也是等差数列，则 $a_{n} =$ ．

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13. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为 $2$ 的菱形，且 $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $P D = A D$ ， $P D ⊥ 平面 A B C D$ ， $F$ ， $O$ 分别是 $P A$ ， $B D$ 的中点， $E$ 是线段 $P B$ 上的动点，给出下列四个结论：
① $A C ⊥ O E$ ；
② $F C = P O$ ；
③直线 $P O$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ；
④ $△ A E C$ 面积的取值范围是 $[\frac{\sqrt{6}}{2} ， \sqrt{15}]$ .
其中所有正确结论的序号是．

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14. 下表记录了某地区一年之内的月降水量.

月份	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
月降水量/mm	58	48	53	46	56	56	51	71	56	53	64	66

根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是；80%分位数是．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ C = \frac{2 π}{3}$ ，则 $∠ B =$ ； $D$ 为 $B C$ 的中点，则 $A D$ 的长为．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ， $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的对称轴，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3})$ 上单调．

(1)、从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得 $f (x)$ 的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数 $f (x)$ 的图象经过点 $A (0 ， \frac{1}{2})$ ；
条件②： $(\frac{π}{3} ， 0)$ 是 $f (x)$ 的对称中心；
条件③： $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 是 $f (x)$ 的对称中心.

(2)、根据（1）中确定的 $f (x)$ ，求函数 $y = f (x) (x \in [0 ， \frac{π}{2}])$ 的值域．

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17. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约27万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服务．

(1)、甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？

(2)、已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是 $\frac{1}{10}$ ，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列与期望；

(3)、2.7万名志愿者中， $18 - 35$ 岁人群占比达到 $95 %$ ，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：

$18 - 35$ 岁人群
其它人群
支持
不支持
支持
不支持
方案
90人
5人
1人
4人
假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案的概率估计值记为 $p_{0}$ ，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为 $p_{1}$ ，试比较 $p_{0}$ 与 $p_{1}$ 的大小．（结论不要求证明）

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18. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ， $D$ ， $P$ 分别是 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、在侧棱 $B B_{1}$ 上作出点 $F$ ，满足 $D F / /$ 平面 $A B_{1} P$ ，并给出证明；

(2)、求二面角 $B_{1} - A P - C_{1}$ 的余弦值及点 $B$ 到平面 $A B_{1} P$ 的距离．

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19. 已知 $f (x) = k s i n x + 2 x$ ．

(1)、当 $k = 2$ 时，判断函数 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、求证： $- s i n x + 2 x > l n (x + 1) (x \in (0 ， \frac{π}{2}))$ ；

(3)、若 $f (x) > l n (x + 1)$ 在 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 恒成立，求 $k$ 的最小值．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴的右端点为 $A (2 ， 0)$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l ： y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 分别相交于 $M ， N$ 两点，且 $A M ⊥ A N$ ，点 $A$ 不在直线 $l$ 上.
①试证明直线 $l$ 过一定点，并求出此定点；
②从点 $A$ 作 $A D ⊥ M N$ 垂足为 $D$ ，点 $B (\frac{8}{5} ， 2)$ ，写出 $| B D |$ 的最小值（结论不要求证明）．

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21. 素数又称质数，是指在大于 $1$ 的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在2000多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“1+2”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出.1934年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表 $A$ ，具体构造的方法如下： $A$ 中位于第 $i$ 行第 $j$ 列的数记为 $a_{i j}$ ，首项为 $3 i + 1$ 且公差为 $2 i + 1$ 的等差数列的第 $j$ 项恰好为 $a_{i j}$ ，其中 $i = 1 ， 2 ， ⋯$ ； $j = 1 ， 2 ， ⋯$ ．请同学们阅读以上材料，回答下列问题.

(1)、求 $a_{53}$ ；

(2)、证明： $a_{i j} = a_{j i}$ ；

(3)、证明：
①若 $s$ 在 $A$ 中，则 $2 s + 1$ 不是素数；
②若 $s$ 不在 $A$ 中，则 $2 s + 1$ 是素数．

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	$18 - 35$ 岁人群		其它人群
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