北京市房山区2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A={－2，－1，0，1，2}， $B = {x | x^{2} < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{－2，－1，0，1，2} B、{－1，0，1} C、{－2，2} D、{0，1}

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2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，－1），则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、5 B、3 C、5－4i D、3－4i

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3. 若 $a b > 0$ ，且 $a < b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ D、 $\frac{a + b}{2} > \sqrt{a b}$

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4. 若 ${(x + \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为－20，则a=（）

A、2 B、－2 C、1 D、－1

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5. 已知 $M$ 为抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点， $M$ 到抛物线的焦点的距离为4，到 $x$ 轴的距离为3，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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6. 数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，若 $a_{3} = 5$ ， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{5}} = \frac{10}{9}$ ，则 $a_{1} \cdot a_{5} =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、9 C、10 D、20

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7. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为 $v = \frac{1}{2} l o g_{3} \frac{Q}{100}$ ，其中Q表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（）

A、2600 B、2700 C、2 D、27

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8. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (x + θ) - 1$ ，则“ $θ = \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$ ”是“ $f (x)$ 为奇函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知直线l被圆C： $x^{2} + y^{2} = 2$ 所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（）

A、 $y = x^{2} - 1$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - y^{2} = 1$

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10. 已知U是非实数集，若非空集合A₁ ， A₂满足以下三个条件，则称（A₁ ， A₂）为集合U的一种真分拆，并规定（A₁ ， A₂）与（A₂ ， A₁）为集合U的同一种真分拆
①A₁∩A₂=0②A₁ $∪$ A₂=U③ $A_{i} (i = 1 ， 2)$ 的元素个数不是 $A_{i}$ 中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（）

A、5 B、6 C、10 D、15

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二、填空题

11. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{1}{2} x$ ，则 $a =$ .

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12. 函数 $f (x)$ 的图象在区间（0，2）上连续不断，能说明“若 $f (x)$ 在区间（0，2）上存在零点，则 $f (0) \cdot f (2) < 0$ ”为假命题的一个函数 $f (x)$ 的解析式可以为 $f (x)$ =.

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13. 如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB₁C₁C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：
①D₁O⊥AC；
②存在一点P，D₁O∥B₁P；
③若D₁O⊥OP，则△D₁C₁P面积的最大值为 $\sqrt{5}$ ；
④若P到直线D₁C₁的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.
其中所有正确结论的序号是.

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14. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是单位向量， $\vec{c} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ · $\vec{b}$ = ， $| \vec{c} | =$ .

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15. 将函数 $f (x) = s i n 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）=；若g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），m的最大值为.

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三、解答题

16. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = B B_{1} = 1$

(1)、求证： $A C ∥$ 平面 $B A_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $A B ⊥ B C$ ，求
① $A A_{1}$ 与平面 $B A_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值；
②直线 $A C$ 与平面 $B A_{1} C_{1}$ 的距离.

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17. 在△ABC中， $b s i n A = a c o s B$ .

(1)、求∠B的大小；

(2)、再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积
条作① $c o s A = - \frac{1}{2}$ ；
条件② $b = \sqrt{2}$ ；
条件③：AB边上的高为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分.

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18. 良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防止以来，在经济快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碎式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
合计
空气质量优良天数
24
18
11
27
23
21
26
29
27
29
23
30
288
空气质量污染天数
7
10
20
3
8
9
5
2
3
2
7
1
77

(1)、从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；

(2)、从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中质量优良的天数，求X的分布列；

(3)、在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为 $s_{1}^{2}$ ，空气质量污染天数的方差为 $s_{2}^{2}$ ，试判断 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ 的大小关系.（结论不要求证明）

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19. 已知函数 $f (x) = (l n x - a) e^{x}$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围.

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20. 已知椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴的两个端点分别为 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $(1 ， 0)$ 的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线 $x = 4$ 交于点Q，求证： $\frac{S_{△ M B N}}{S_{△ M B Q}} = \frac{| B N |}{| B Q |}$ .

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21. 若无穷数列{ $a_{n}$ }满足如下两个条件，则称{ $a_{n}$ }为无界数列：
① $a_{n} > 0$ （n=1，2，3......）
②对任意的正数 $δ$ ，都存在正整数N，使得 $a_{n} > δ$ .

(1)、若 $a_{n} = 2 n + 1$ ， $b_{n} = 2 + c o s (n)$ （n=1，2，3......），判断数列{ $a_{n}$ }，{ $b_{n}$ }是否是无界数列；

(2)、若 $a_{n} = 2 n + 1$ ，是否存在正整数k，使得对于一切 $n \geq k$ ，都有 $\frac{a_{1}}{a_{2}} + \frac{a_{2}}{a_{3}} + . . . + \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} < n - 1$ 成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；

(3)、若数列{ $a_{n}$ }是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得 $\frac{a_{1}}{a_{2}} + \frac{a_{2}}{a_{3}} + . . . + \frac{a_{m}}{a_{m + 1}} < m - 1$ .

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月份	1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月	9月	10月	11月	12月	合计
空气质量优良天数	24	18	11	27	23	21	26	29	27	29	23	30	288
空气质量污染天数	7	10	20	3	8	9	5	2	3	2	7	1	77