北京市朝阳区2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 \leq x < 4}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 3 x + 2 < 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | 2 \leq x < 4}$ D、 ${x | 1 < x < 4}$

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2. 直线 $y = x + 1$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 截得的弦长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、3

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4. 设 $m \in (0 ， 1)$ ，若 $a = l g m$ ， $b = l g m^{2}$ ， $c = {(l g m)}^{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 3 ， x \geq 0 \\ - 2 x ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (m) = - 1$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、-2 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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6. 已知 $a \in (0 ， + \infty)$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $a + \frac{1}{a} > 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知三棱锥 $A - B C D$ ，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ ，若存在一个正整数 $T$ 使得对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + T} = a_{n}$ ，则称 $T$ 为数列 ${a_{n}}$ 的周期.若四个数列分别满足：
① $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 1 - a_{n} (n \in N^{*})$ ；② $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = - \frac{1}{1 + b_{n}} (n \in N^{*})$ ；③ $c_{1} = 1$ ， $c_{2} = 2$ ， $c_{n + 2} = c_{n + 1} - c_{n} (n \in N^{*})$ ；④ $d_{1} = 1$ ， $d_{n + 1} = {(- 1)}^{n} d_{n} (n \in N^{*})$ .
则上述数列中，8为其周期的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为 $16 m$ ，上口半径为 $17 m$ ，下口半径为 $28.5 m$ ，高为 $70 m$ .在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设 $| O A | = 16$ ， $| D C | = 17$ ， $| E B | = 28.5$ ， $| D E | = 70$ ，则双曲线的方程近似为（）
（参考数据： $\frac{28 . 5^{2}}{1 6^{2}} \approx 3.17$ ， $\frac{28 . 5^{2}}{1 7^{2}} \approx 2.81$ ， $\frac{1 7^{2}}{1 6^{2}} \approx 1.13$ ）

A、 $\frac{x^{2}}{1 6^{2}} - \frac{y^{2}}{3 8^{2}} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{1 6^{2}} - \frac{y^{2}}{4 8^{2}} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{1 7^{2}} - \frac{y^{2}}{3 8^{2}} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{1 7^{2}} - \frac{y^{2}}{4 8^{2}} = 1$

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10. 在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示， $V A$ ， $V B$ ， $V C$ 两两垂直， $V A = V B = V C = 1$ （单位： $d m$ ），小明同学计划通过侧面 $V A C$ 内任意一点 $P$ 将木块锯开，使截面平行于直线 $V B$ 和 $A C$ ，则该截面面积（单位： $d m^{2}$ ）的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

11. 计算 $i (1 + i) =$ ．

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12. 已知直线 $x = \frac{π}{3}$ 和 $x = \frac{5 π}{6}$ 是曲线 $y = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个 $φ$ 的值是.

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13. 在平面直线坐标系 $x O y$ 中，设抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ ： $y = \sqrt{3} (x - 1)$ 与抛物线 $C$ 交于点 $A$ ，且点 $A$ 在 $x$ 轴上方，过点 $A$ 作抛物线 $C$ 的切线与抛物线 $C$ 的准线交于点 $P$ ，与 $x$ 轴交于点 $H$ .给出下列四个结论：
① $△ O F A$ 的面积是 $\sqrt{3}$ ；
②点 $H$ 的坐标是 $(- \sqrt{3} ， 0)$ ；
③在 $x$ 轴上存在点 $Q$ 使 $\vec{A Q} \cdot \vec{P Q} = 0$ ；
④以 $H F$ 为直径的圆与 $y$ 轴的负半轴交于点 $N$ ，则 $\vec{A F} = 2 \vec{F N}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为3，公比为 $q$ 的等比数列， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项的和，若 $a_{3} a_{4} + a_{5} = 0$ ，则 $q =$ ； $S_{3} =$ .

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15. 某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地 $P Q R$ ，其中 $P$ 在 $\overset{⌢}{B C}$ 上， $P Q ⊥ A B$ ，垂足为 $Q$ ， $P R ⊥ A C$ ，垂足为 $R$ ，设 $∠ P A B = α \in (0 ， \frac{π}{3})$ ，则 $P Q =$ （用 $α$ 表示）；当 $P$ 在 $\overset{⌢}{B C}$ 上运动时，这块三角形绿地的最大面积是.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $a s i n C + c c o s A = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $b = \sqrt{2} c$ ；条件②： $s i n B = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ；条件③： $a = \sqrt{10}$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.

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17. 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；

(2)、在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用 $X$ 表示其成绩在 $[90 ， 100]$ 中的人数，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、在（2）抽取的3人中，用 $Y$ 表示其成绩在 $[80 ， 90)$ 的人数，试判断方差 $D (X)$ 与 $D (Y)$ 的大小.（直接写结果）

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18. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ ， $A C ∩ B D = O$ ， $O D = O B = 1$ ， $O C = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的点， $E F / / B D$ ， $A C ∩ E F = H$ ， $A H = 2$ ， $H O = 1$ .将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 折起到 $△ A_{1} E F$ 的位置，得到五棱锥 $A_{1} - B C D F E$ ，如图2.

(1)、求证： $E F ⊥$ 平面 $A_{1} H C$ ；

(2)、若平面 $A_{1} E F ⊥$ 平面 $B C D F E$ ，
（i）求二面角 $D - A_{1} C - H$ 的余弦值；
（ii）对线段 $A_{1} F$ 上任意一点 $N$ ，求证：直线 $B N$ 与平面 $A_{1} D C$ 相交.

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19. 已知 $f (x) = x - a e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴重合，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上存在极值，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $g (x) = f (2 - x)$ ，在（2）的条件下，试判断函数 $g (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性，并说明理由.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (1 ， 0)$ ，且过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程和离心率；

(2)、过点 $P (4 ， 0)$ 且与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，与直线 $x = 1$ 交于点 $Q$ ，点 $M$ 满足 $M P ⊥ x$ 轴， $M B / / x$ 轴，试求直线 $M A$ 的斜率与直线 $M Q$ 的斜率的比值.

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21. 对非空数集 $X$ ， $Y$ ，定义 $X$ 与 $Y$ 的和集 $X + Y = {x + y | x \in X ， y \in Y}$ .对任意有限集 $A$ ，记 $| A |$ 为集合 $A$ 中元素的个数.

(1)、若集合 $X = {0 ， 5 ， 10}$ ， $Y = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，写出集合 $X + X$ 与 $X + Y$ ；

(2)、若集合 $X = {x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}}$ 满足 $x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n}$ ， $n \geq 3$ ，且 $| X + X | < 2 | X |$ ，求证：数列 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $⋯$ ， $x_{n}$ 是等差数列；

(3)、设集合 $X = {x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}}$ 满足 $x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n}$ ， $n \geq 3$ ，且 $x_{i} \in Z (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，集合 $B = {k \in Z | - m \leq k \leq m}$ （ $m \geq 2$ ， $m \in N$ ），求证：存在集合 $A$ 满足 $| A | \leq 1 + \frac{x_{n} - x_{1}}{| B |}$ 且 $X \subseteq A + B$ .

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