北京东城区2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq - 1}$ ， $B = {x | | x - 1 | < 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | x > - 1}$ C、 ${x | - 1 \leq x < 3}$ D、 ${x | x \geq - 1}$

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2. 下列函数中，定义域与值域均为R的是（）

A、 $y = l n x$ B、 $y = e^{x}$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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3. 已知复数 $z$ 满足 $i z = 2 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、2 B、－2 C、1 D、－1

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ ，则 ${a_{n}}$ 是（）

A、公差为2的等差数列 B、公差为3的等差数列 C、公比为2的等比数列 D、公比为3的等比数列

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5. 已知 $s i n α = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n (π - 2 α) \cdot t a n α =$ （）

A、 $\frac{32}{25}$ B、 $- \frac{32}{25}$ C、 $\frac{18}{25}$ D、 $- \frac{18}{25}$

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6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ 为 $B C$ 上一点，则三棱锥 $B_{1} - A C_{1} E$ 的体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为（）

A、 $\frac{3}{22}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{2}{23}$ D、 $\frac{1}{12}$

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8. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，则“ $a^{2} + b^{2} \leq 2$ ”是“ $- 1 \leq a b \leq 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + m (k \neq 0)$ 与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点， $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，若 $C A ⊥ C B$ ，则当 $k$ ， $m$ 变化时，点 $C$ 到点 $(1 ， 1)$ 的距离的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过 $t$ 天后，用户人数 $A (t) = A (0) e^{k t}$ ，其中 $k$ 为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（本题取 $l g 2 = 0.30$ ）

A、31 B、32 C、33 D、34

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二、填空题

11. 在 ${(2 - \sqrt{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为.（用数字作答）

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12. 已知向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{C D}$ 在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} =$ .

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13. 某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段 $A B$ 表示角楼的高， $C$ ， $D$ ， $E$ 为三个可供选择的测量点，点 $B$ ， $C$ 在同一水平面内， $C D$ 与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为.（只需写出一种方案）
① $C$ ， $D$ 两点间的距离；
② $C$ ， $E$ 两点间的距离；
③由点 $C$ 观察点 $A$ 的仰角 $α$ ；
④由点 $D$ 观察点 $A$ 的仰角 $β$ ；
⑤ $∠ A C E$ 和 $∠ A E C$ ；
⑥ $∠ A D E$ 和 $∠ A E D$ .

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14. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 过点 $P (2 ， 4)$ ，则 $p =$ ；若点 $Q (4 ， y_{1})$ ， $R (t ， y_{2})$ 在 $C$ 上， $F$ 为 $C$ 的焦点，且 $| P F |$ ， $| Q F |$ ， $| R F |$ 成等比数列，则 $t =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - k x ， x \geq 0 ， \\ k x^{2} - x + 1 ， x ＜ 0 . \end{array}$ 若 $k = 0$ ，则不等式 $f (x) ＜ 2$ 的解集为；若 $f (x)$ 恰有两个零点，则 $k$ 的取值范围为.

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = a s i n ω x c o s ω x (a ＞ 0 ， ω ＞ 0)$ .从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在且唯一确定．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 2 c o s^{2} ω x + 1$ ，求函数 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调递增区间.
条件①： $f (\frac{π}{4}) = 1$ ；
条件②： $f (x)$ 为偶函数；
条件③： $f (x)$ 的最大值为1；
条件④： $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $M$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 上一点.

(1)、求证： $B M ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、若直线 $A B_{1}$ 与平面 $B C M$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，求点 $A_{1}$ 到平面 $B C M$ 的距离.

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18. 根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：

受教育程度性别	未上学	小学	初中	高中	大学专科	大学本科	硕士研究生	博士研究生
男	0.00	0.03	0.14	0.11	0.07	0.11	0.03	0.01
女	0.01	0.04	0.11	0.11	0.08	0.12	0.03	0.00
合计	0.01	0.07	0.25	0.22	0.15	0.23	0.06	0.01

(1)、已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；

(2)、从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)、若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为

a

年和

b

年，依据表中的数据直接写出

a

与

b

的大小关系.（结论不要求证明）

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x - a}{x^{2} - 1}$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线斜率为 $- 1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上有最大值，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (4 ， 0)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.是否存在常数 $t$ ，使得直线 $x = t$ 与直线 $l$ 的交点 $Q$ 在 $A$ ， $B$ 之间，且总有 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{| Q A |}{| Q B |}$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由.

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21. 设数列 $A ： a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n} (n \geq 2)$ .如果 $a_{i} \in {1 ， 2 ， ⋯ ， n} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，且当 $i \neq j$ 时， $a_{i} \neq a_{j} (1 \leq i ， j \leq n)$ ，则称数列A具有性质 $P$ .对于具有性质 $P$ 的数列A，定义数列 $T (A) ： t_{1} ， t_{2} ， ⋯ ， t_{n - 1}$ ，其中 $t_{k} = {\begin{array}{l} 1 ， a_{k} ＜ a_{k + 1} ， \\ 0 ， a_{k} ＞ a_{k + 1} \end{array} (k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n - 1)$ .

(1)、对 $T (A) ： 0 ， 1 ， 1$ ，写出所有具有性质 $P$ 的数列A；

(2)、对数列 $E ： e_{1} ， e_{2} ， ⋯ ， e_{n - 1} (n \geq 2)$ ，其中 $e_{i} \in {0 ， 1} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n - 1)$ ，证明：存在具有性质 $P$ 的数列A，使得 $T (A)$ 与 $E$ 为同一个数列；

(3)、对具有性质 $P$ 的数列A，若 $| a_{1} - a_{n} | = 1 (n \geq 5)$ 且数列 $T (A)$ 满足 $t_{i} = {\begin{array}{l} 0 ， i 为奇数， \\ 1 ， i 为偶数 \end{array} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n - 1)$ ，证明：这样的数列A有偶数个.

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