山东省名校联盟2021-2022学年高二下学期数学质量检测联合调考（B3）试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知事件A和B相互独立，且 $P (A) = \frac{1}{3} ， P (B) = \frac{3}{7}$ ，则 $P (A B) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{2}{21}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{16}{21}$

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2. 下列数列中，为递减数列的是（）

A、 ${1 + 5^{n}}$ B、 ${- n^{2} + 6 n}$ C、 ${3 n + 6}$ D、 ${1 - l o g_{2} n}$

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3. 从甲、乙等8名大学生中选取3名参加演讲比赛，则甲、乙2人中至少有1人不参加演讲比赛的概率为（）

A、 $\frac{15}{28}$ B、 $\frac{13}{28}$ C、 $\frac{25}{28}$ D、 $\frac{3}{28}$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3 ， a_{n} = 2 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n ⩾ 2)$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{9}{7}$ C、 $\frac{13}{11}$ D、 $\frac{11}{9}$

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5. 已知一个多边形的周长为 $354 c m$ ，各边的长成等差数列，最大的边长为 $57 c m$ ，公差为 $5 c m$ ，则该多边形是（）

A、十二边形 B、十三边形 C、十四边形 D、十五边形

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6. 一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位： $m m$ ）服从正态分布 $N (180 ， σ^{2})$ ，且 $P (z \leq 190) = 0.9 ， P (z \leq 160) = 0.04$ ，则 $P (190 < z < 200) =$ （）

A、0.1 B、0.04 C、0.05 D、0.06

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7. $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{7} = 3 ， S_{21} = 18 ， S_{14} = x$ ，则（）

A、 $x^{2} + 3 x - 45 = 0$ B、 $x^{2} - 3 x - 63 = 0$ C、 $x^{2} - 3 x - 45 = 0$ D、 $x^{2} + 3 x - 63 = 0$

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8. 按照小李的阅读速度，他看完《红楼梦》需要40个小时.2021年10月20日，他开始阅读《红楼梦》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《红楼梦》的日期为（）

A、2021年11月8日 B、2021年11月9日 C、2021年11月10日 D、2021年11月11日

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二、多选题

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ .若 $S_{n} ⩾ S_{7}$ ，则（）

A、 $a_{1} < 0$ B、 $d < 0$ C、 $a_{7} = 0$ D、 $S_{15} ⩾ 0$

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10. 若随机变量 $X$ 的分布列如下，则（）
$X$
1
2
3
4
$P$
$\frac{1}{t}$
$\frac{3}{t}$
$\frac{2}{t}$
$\frac{4}{t}$

A、 $t = 10$ B、 $P (X > 1) = 0.9$ C、 $E (X + 1) = 3.8$ D、 $D (X) = 1.09$

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11. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， n a_{n} = (n + 2) a_{n + 1}$ ，则（）

A、数列 ${(n^{2} + n) a_{n}}$ 是常数列 B、数列 ${(n^{2} + n) a_{n}}$ 是递增数列 C、数列 ${(n + 1) a_{n}}$ 是等比数列 D、 ${a_{n}}$ 的前100项和为 $\frac{400}{101}$

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12. 设正整数 $n = a_{0} \cdot 5^{0} + a_{1} \cdot 5^{1} + a_{2} \cdot 5^{2} + ⋯ + a_{k} \cdot 5^{k} (k \in N^{*})$ ，其中 $a_{i} \in {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，记 $p (n) = a_{0} + a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{k}$ ，则（）

A、当 $a_{0} = a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{k} = 1$ 时， $n = \frac{5^{k + 1} - 1}{4}$ B、 $p (5 n) = p (n)$ C、当 $a_{0} = 1$ 时， $p (5 n + 6) = p (n) + 2$ D、 $p (\frac{5^{n} - 1}{4}) = n + 1$

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三、填空题

13. 已知随机变量X满足 $E (2 X) = 10 ， D (4 X + 3) = 64$ 则 $E (X) =$ ， $D (X) =$ ．

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14. 一张 $B 4$ 纸的厚度为 $0.093 m m$ ，将其对折后厚度变为 $a_{1} = 0.186 m m$ ，第2次对折后厚度变为 $a_{2} = 0.372 m m$ …，第 $n$ 次对折后厚度变为 $a_{n} m m$ ，则 $a_{n} =$ ，数列 ${a_{n} (n^{3} + 6 n^{2} + 6 n + 2)}$ 的前 $n$ 项和为.

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15. 已知 ${a_{n}}$ 是周期为5的周期数列，其中 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5}$ 是等差数列，且 $a_{2} = 4 ， a_{5} = 13$ ，则 $a_{104} =$ .

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16. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图所示的为一幅唐朝的投壶图，假设甲､乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲､乙每次投壶投中的概率分别为 $\frac{1}{2} ， \frac{1}{3}$ ，每人每次投壶相互独立.若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则乙最后获胜的概率为.

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四、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 5 ， a_{7} = a_{4} + 6$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{m} = 99$ ，求 $m$ 的值.

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18. 某市场供应的电子产品中，甲厂产品占70%．乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是 $85 %$ ．

(1)、若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，求该产品是合格品的概率；

(2)、在该市场中随机购买一件电子产品，已知买到的是合格品，求这件电子产品是甲厂生产的概率（结果精确到0.1%）．

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19. 为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为2021年7月10日至9月10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2021年7月10日至7月14日时段中的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）的数据如下表：
日期
7月10日
7月11日
7月12日
7月13日
7月14日
第x天
1
2
3
4
5
人数y（单位：万人）
75
84
93
98
100
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y})^{2} = 434$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 64$ ， $\sqrt{4340} \approx 65.979$ ．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$ ，回归直线方程的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ，截距 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若 $0.3 < | r | < 0.75$ ，则线性相关程度一般，若 $| r | > 0.75$ ，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01）

(2)、求购买人数y与直播的第x天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测从2021年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）．

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20. 2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占 $\frac{3}{5}$ ，统计后得到如下 $2 \times 2$ 列联表：

销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计
线上销售时间不少于8小时
17
20
线上销售时间不足8小时
合计
45
参考公式： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、请完成上面的 $2 \times 2$ 列联表，并依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；

(2)、①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；
②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值.
附：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{n}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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21. ① ${2^{n} a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1} ， a_{3} ， \frac{1}{3} a_{2}$ 成递减的等比数列；② ${(- 1)^{n + 1} n + a_{n}}$ 为等比数列，且 $4 a_{1} ， a_{3} ， a_{2}$ 成递增的等差数列.从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1$ ， ____.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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22. 某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数 $m$ 的分布列为
$m$
5
6
7
$P$
0.3
0.5
0.2
$X$ 表示2台设备使用期间需更换的零件数， $n$ 代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在 $n = 11$ 和 $n = 12$ 中，应选哪一个？

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$X$	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{t}$	$\frac{3}{t}$	$\frac{2}{t}$	$\frac{4}{t}$

日期	7月10日	7月11日	7月12日	7月13日	7月14日
第x天	1	2	3	4	5
人数y（单位：万人）	75	84	93	98	100

	销售额不少于30万元	销售额不足30万元	合计
线上销售时间不少于8小时	17		20
线上销售时间不足8小时
合计			45

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{n}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$m$	5	6	7
$P$	0.3	0.5	0.2