江西省九江市2022届理数第二次高考模拟统一考试试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z = a^{2} - 1 + (a + 1) i (a \in R)$ 为纯虚数，则a的值为（）

A、-1 B、1 C、0或1 D、-1或1

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2. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 5}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ，则如图所示的阴影部分表示的集合为（）

A、 ${x | 4 < x \leq 5}$ B、 ${x | 4 \leq x \leq 5}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 4}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$

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3. 已知命题p： $\forall x \geq 0$ ， $c o s x \leq e^{x}$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \geq 0$ ， $c o s x > e^{x}$ B、 $\exists x_{0} < 0$ ， $c o s x_{0} > e^{x_{0}}$ C、 $\forall x < 0$ ， $c o s x > e^{x}$ D、 $\exists x_{0} \geq 0$ ， $c o s x_{0} > e^{x_{0}}$

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4. 若双曲线C的一个焦点为 $(5 ， 0)$ ，且与双曲线 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{8} = 1$ 的渐近线相同，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、5 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{1}$ 、 $a_{5}$ 是方程 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 的两根，则 $a_{3} =$ （）

A、－2 B、1 C、－1 D、±1

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 的部分图像如图所示，则 $y = f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{x} + e^{- x}}$ B、 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{x} - e^{- x}}$ C、 $f (x) = \frac{c o s x}{e^{x} - e^{- x}}$ D、 $f (x) = \frac{c o s x}{e^{- x} - e^{x}}$

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7. 已知锐角 $α$ 满足 $4 s i n^{2} α + s i n 2 α = 2$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8. 牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为 $T_{0}$ ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 $T - T_{c} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{c})$ ，其中 $T_{c}$ 是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、2.9 B、3.4 C、3.9 D、4.4

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9. 2021年3月，教育部办公厅发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确学生睡眠时间要求，高中生每天睡眠时间应达到8小时.若高一学生小明每天的睡眠时间在7小时至10小时之间随机分布，则他连续两天平均睡眠时间不少于8小时的概率是（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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10. 已知点M为抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 上的动点，过点M向圆 $O_{1} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 引切线，切点分别为P，Q，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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11. 正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将 $△$ ADE， $△$ CDF， $△$ BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球半径R与内切球半径r的比值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6}$

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12. 若关于x的不等式 $a x + l n x + 1 \leq x e^{x} (a \in R)$ 恒成立，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{e}]$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $(- \infty ， e]$

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二、填空题

13. ${(x - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为.

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14. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个单位向量，且| $\vec{e_{1}}$ ＋ $\vec{e_{2}}$ |＝ $\sqrt{3}$ ，则| $\vec{e_{1}}$ － $\vec{e_{2}}$ |＝.

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15. 斐波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….已知在斐波那契数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N_{+})$ ，若 $a_{2022} = m$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前2020项和为（用含m的代数式表示）.

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16. 如图，棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为棱 $C C_{1}$ 上一点，且 $\vec{C P} = 2 \vec{P C_{1}}$ ， M为平面 $B D C_{1}$ 内一动点，则MC+MP的最小值为.

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三、解答题

17. 已知△ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $4 S = \sqrt{3} (b^{2} - a^{2} - c^{2})$ .

(1)、求B的大小；

(2)、若 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，且BD=2，求S的最大值.

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18. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = C C_{1}$ ， D，E分别为BC， $C C_{1}$ 的中点， $A_{1} C ⊥ B E$ ， ∠ABC=60°.

(1)、证明： $A_{1} C$ $∥$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、求二面角D-AE-B的余弦值.

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19. 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办.为了普及冬奥知识，某社区举行知识竞赛，规定：①每位参赛选手共进行3轮比赛，每轮比赛从A､B难度问题中限选1题作答，取其中最好的2轮成绩之和作为最终得分；②每轮比赛中答对A难度问题得10分，答对B难度问题得5分，答错则得0分.已知某选手在比赛中答对A难度问题的概率为 $\frac{2}{5}$ ，答对B难度问题的概率为 $\frac{4}{5}$ ，且每轮答题互不影响.

(1)、若该选手3轮比赛都选择A难度问题，求他最终得分为10分的概率；

(2)、若该选手3轮比赛中，前2轮选择B难度问题，第3轮选择A难度问题，记他的最终得分为X，求X的分布列和数学期望.

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， P为椭圆E上一点，Q为圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 上一点， $| P Q |$ 的最大值为3（P，Q异于椭圆E的上下顶点）.

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的斜率分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{2} = 4 k_{1}$ ，求证：直线PQ过定点，并求出此定点的坐标.

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x - a x + 1 (a \in R)$ .

(1)、若 $a \leq 1$ ，讨论 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、求证：当 $x \geq 1$ 时， $(x l n x + 1) l n x + \frac{2}{e^{x}} > l n 2$ （注： $l n 2 \approx 0.6931$ ）.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的普通方程为 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ ，曲线E的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + c o s θ \\ y = s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）.

(1)、以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l及曲线E的极坐标方程；

(2)、若P为曲线E在第一象限上一点，射线OP按逆时针方向旋转 $6 0^{∘}$ ，与直线l相交于点Q，若 $△ O P Q$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $| O P |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + a | + | a - 1 |$ 的最小值为2， $g (x) = k | x | (a ， k \in R)$ .

(1)、求a的取值范围；

(2)、若 $f (x) \geq g (x)$ ，求k的最大值.

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