湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高二下学期数学3月联考试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = s i n x + c o s \frac{π}{3}$ ，则 $f^{^{'}} (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

查看试题解析
2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} + a_{5} = - 1$ ， $a_{4} + a_{6} = 2$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
3. 设 $f (x)$ 是定义在R上的可导函数，若 $\underset{h \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0} - h)}{h} = 2 a$ （ $a$ 为常数），则 $f^{'} (x_{0}) =$ （）

A、 $- 2 a$ B、 $- a$ C、 $a$ D、 $2 a$

查看试题解析
4. 某同学在一次模拟实验中，设定一个乒乓球从16米高处下落，每次着地后又弹回原来高度的一半再落下，则第6次着地时乒乓球所运动的路程之和为（）

A、31米 B、31.5米 C、47米 D、63米

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = l n | x | - x + \frac{1}{x}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = λ a_{n} + 1 (λ > 1)$ ， $a_{2} = - 2$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、-2047 B、-1023 C、1025 D、2049

查看试题解析
7. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + x + 1$ 在 $[- 3 a ， 3 a] (a > 0)$ 上的最大值与最小值之和不小于 $- \frac{1}{4}$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(0 ， 2]$

查看试题解析
8. 函数 $f (x)$ 在定义域 $(0 ， + \infty)$ 内恒满足 $2 f (x) < x f^{'} (x) < 3 f (x)$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、 $\frac{1}{4} < \frac{f (1)}{f (2)} < \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{16} < \frac{f (1)}{f (2)} < \frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{3} < \frac{f (1)}{f (2)} < \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{8} < \frac{f (1)}{f (2)} < \frac{1}{4}$

查看试题解析

二、多选题

9. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和是 $S_{n}$ ，若 $- a_{m} < a_{1} < - a_{m + 1}$ （ $m \in$ $N^{*}$ ，且 $m \geq 2$ ），则必定有（）

A、 $S_{m} > 0$ B、 $S_{m} < 0$ C、 $S_{m + 1} > 0$ D、 $S_{m + 1} < 0$

查看试题解析
10. 对于函数 $f (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x - 7}{2 e^{2 x}}$ ，下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 存在有极大值也有最大值 B、 $f (x)$ 有三个零点 C、当 $x \in (\frac{\sqrt{15} - 1}{2} ， + \infty)$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立 D、当 $a \in (0 ， \frac{5}{2 e^{4}})$ 时， $f (x) = a$ 有3个不相等的实数根

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = c o s x + e^{| x |} (x \in$ R $) .$ 则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 B、函数 $f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的最小值为2，无最大值 D、不等式 $f (1 - 2 x) - f (x) < 0$ 的解集为 $(\frac{1}{3} ， 1)$

查看试题解析
12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 1 ， x \leq 0 ， \\ x^{2} - x + 1 ， x > 0 \end{array}$ 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ，则（）

A、当 $a_{1} = \frac{1}{2}$ 时， $a_{n} < 1$ B、若 ${a_{n}}$ 为递增数列，则 $a_{1} > 1$ C、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 $a_{1} \leq 0$ D、当 $a_{1} = 2$ 时， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} < 1$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{2}}{3} x^{3} - 2 a x^{2} + 3 x$ ，其中 $a \in R$ ，若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值，则 $a =$ .

查看试题解析
14. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{7} = 14$ ，当 $a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2}$ 取得最小值时， $a_{2022} =$ .

查看试题解析
15. 已知 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，直线 $y = x + a$ 与曲线 $y = e^{x - b}$ 相切，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值是．

查看试题解析
16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是 $a_{n} = 2 n - 1 (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n + 1 (n \in N^{*})$ ．那么 $\frac{b_{1}}{a_{1} a_{2}} + \frac{b_{2}}{a_{2} a_{3}} + \frac{b_{3}}{a_{3} a_{4}} + ⋯ + \frac{b_{n}}{a_{n} a_{n + 1}} =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $y = 1 + l n x$ .

(1)、求曲线 $y = 1 + l n x$ 在点 $P (e ， 2)$ 处的切线方程；

(2)、求曲线 $y = 1 + l n x$ 过原点 $O (0 ， 0)$ 的切线方程.

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，在① $S_{n}$ ＝ $2 a_{n}$ － $3$ ， ② $S_{n}$ ＝ $3 \times 2^{n} － 3$ 这两个条件中任选一个，并作答.

(1)、求数列{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、设 $b_{n}$ ＝ $l o g_{2} \frac{2 a_{n}}{3}$ ，求数列{ $a_{n} b_{n}$ }的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = a x - 2 l n x (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数.

查看试题解析
20. 如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半径为100 m，其与城站路一边所在直线l相切于点M，MO的延长线交圆O于点N，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化，设△ABM的面积为S(单位：m²).

(1)、以∠AON=θ(rad)为自变量，将S表示成θ的函数；

(2)、求使绿化面积最大时点A的位置及最大绿化面积.

查看试题解析
21. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2 ， a_{2} = 6 ， a_{3} = 12$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 2} - S_{n - 1} = 3 (S_{n + 1} - S_{n}) + 2 (n \in N^{*} ， n \geq 2) .$

(1)、求证：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为等差数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1}} + \frac{1}{a_{n + 2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{2 n}}$ ，若对任意正整数 $n$ ，当 $m \in [1 ， 2]$ 时， $m t^{2} - 3 t + \frac{1}{6} > b_{n}$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = \frac{x}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{2} l n \frac{x + 1}{x} - 1$ 的零点为 $x_{1}$ ， $g (x) = 2 x e^{x} - λ x - 1$ 的零点为 $x_{2}$ ，其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 均大于零.

(1)、若 $0 < x_{2} < 1$ ，求实数 $λ$ 的取值范围；

(2)、当 $λ = 1$ 时，求证： $l n x_{1} x_{2} < x_{2} - \frac{1}{x_{1}}$ .
参考数据： $l n 2 \approx 0.693$ ， $e \approx 2.718$ .

查看试题解析