河南省重点高中2021-2022学年高二下学期理数阶段性调研联考试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个焦点为 $F (- 2 ， 0)$ ，一条渐近线的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则该双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$

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2. 设 $f (x) = x \ln x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，若 $f^{'} (x_{0}) = 2$ ，则 $x_{0} =$ （）

A、 $e^{2}$ B、 $\ln 2$ C、e D、 $\frac{\ln 2}{2}$

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3. 已知命题“∃x∈R，使 $4 x^{2} + (a - 2) x + \frac{1}{4} \leq 0$ ”是假命题，则实数a的取值范围是（）

A、a<0 B、0≤a≤4 C、a≥4 D、0<a<4

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4. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ，都有 $2^{x} < 3^{x}$ ；命题 $q ： \exists x \in R$ ，使得 $x - 3 > l g x$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、p且q B、（ $\neg p$ ）且q C、p且（ $\neg q$ ） D、（ $\neg p$ ）且（ $\neg q$ ）

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5. 在极坐标系中，点 $(2 ， \frac{π}{6})$ 到直线 $ρ (\sqrt{3} \cos θ + \sin θ) = 2$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、2

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6. 若函数 $f (x) = 2 x^{2} - l n x$ 在定义域内的一个子区间 $(k - 1 ， k + 1)$ 上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{3}{2} ， 2)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $[1 ， \frac{3}{2})$

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7. 已知函数 $f (x) = m \ln (x + 1) + x^{2} - m x$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(4 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 4]$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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8. 定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ ，已知 $y = e^{f^{'} (x)}$ 的图象如图，则 $y = f (x)$ 的增区间是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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9. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (4 ， 0)$ ，设 $A$ 、 $B$ 为双曲线上关于原点对称的两点， $A F$ 的中点为 $M$ ， $B F$ 的中点为 $N$ ，若原点 $O$ 在以线段 $M N$ 为直径的圆上，直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. “ $x > 1$ ”是“ $\ln x > \frac{x - 1}{x}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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11. 椭圆与双曲线共焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，它们的交点 $P$ 对两公共焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 的张角为 $∠ F_{1} P F_{2} = 2 θ$ ，椭圆与双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ ，则（）

A、 $\frac{\cos^{2} θ}{e_{1}^{2}} + \frac{\sin^{2} θ}{e_{2}^{2}} = 1$ B、 $\frac{\sin^{2} θ}{e_{1}^{2}} + \frac{\cos^{2} θ}{e_{2}^{2}} = 1$ C、 $\frac{e_{1}^{2}}{\cos^{2} θ} + \frac{e_{2}^{2}}{\sin^{2} θ} = 1$ D、 $\frac{e_{1}^{2}}{\sin^{2} θ} + \frac{e_{2}^{2}}{\cos^{2} θ} = 1$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} + l n x - a x - b$ ，则下列命题正确的个数为（）
（1）存在 $a ， b \in R$ ，使得函数 $f (x)$ 没有零点；
（2）任意 $b \in R$ ，存在 $a > 0$ ，使得函数 $f (x)$ 恰有1个零点；
（3）任意 $a > 0$ ，存在 $b \in R$ ，使得函数 $f (x)$ 恰有2个零点；
（4）任意 $b \in R$ ，存在 $a > 0$ ，使得函数 $f (x)$ 恰有3个零点；（5）存在 $b \in R$ ，存在 $a > 0$ ，使得函数 $f (x)$ 恰有3个零点；

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 命题“ $\exists x \in [1 ， 3]$ ，使 $2^{x - 1} - m > 0$ ”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围是．

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14. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的短轴端点， $P$ 是椭圆上异于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 的一动点，设点 $Q$ 满足： $Q B_{1} ⊥ P B_{1}$ ， $Q B_{2} ⊥ P B_{2}$ ，则 $△ P B_{1} B_{2}$ 与 $△ Q B_{1} B_{2}$ 的面积之比为.

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率是 $\sqrt{3}$ ，左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则：

(1)、其渐近线方程是；

(2)、 $t a n ∠ A F_{1} F_{2} =$ ．

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16. 已知点 $P (x ， y)$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上运动，则 $x + 2 y$ 的最大值是；点 $P$ 到直线 $l$ ： $x - 2 y - 10 = 0$ 的最小距离是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n x \cdot c o s x + c o s^{2} x ， x \in R$ .

(1)、求函数f(x)的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数f(x)的值域.

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{3} = 5$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 y + 12 = 0$ ，直线 $l$ ： $a x + y + 2 a = 0$ ．

(1)、当 $a$ 为何值时，直线 $l$ 与圆 $C$ 相切；

(2)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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20. 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点.

(1)、证明：AB₁ //面BC₁D ；

(2)、若AA₁=AB，求二面角B₁-AC-C₁的余弦值.

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为F₁､F₂ ，上顶点为A，△AF₁F₂的周长为6，离心率等于 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点(4，0)的直线l交椭圆C于M､N两点，且OM⊥ON，求直线l的方程.

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22. 已知函数f(x)=x-mlnx-m.

(1)、讨论函数f(x)的单调性；

(2)、若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) $\leq \frac{1}{e}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立.

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