河南省南阳市六校2021-2022学年高二下学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $f (x) = 2 e^{x} s i n x$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、0 B、2 C、1 D、-2

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2. 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 $60 °$ ”时，应假设（）

A、三个内角都不大于 $60 °$ B、三个内角都大于 $60 °$ C、三个内角至多有一个大于 $60 °$ D、三个内角至多有两个大于 $60 °$

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3. 给出下列三个类比结论：
① ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 与 ${(a + b)}^{n}$ 类比，则有 ${(a + b)}^{n} = a^{n} + b^{n}$ ；② $l o g_{a} (x y) = l o g_{a} x + l o g_{a} y$ 与 $s i n (α + β)$ 类比，则有 $s i n (α + β) = s i n α s i n β$ ；③ ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 与 ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2}$ 类比，则有 ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ ．其中正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ ，且满足关系式 $f (x) = x^{2} + 3 x f^{'} (2) + \ln x$ ，则 $f^{'} (2)$ 的值等于（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{9}{4}$ D、 $- \frac{9}{4}$

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5. 马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（）

A、60 B、120 C、180 D、240

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6. 函数 $f (x) = x^{2} l n x$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $- \frac{1}{2 e}$ D、 $\frac{1}{2 e}$

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7. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2022年是“干支纪年法”中的壬寅年，那么2086年出生的孩子属相为（）

A、猴 B、马 C、羊 D、鸡

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{x}{a} - 1 (a \neq 0)$ 在 $[1 ， 2]$ 上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e}]$ B、 $(- ∞ ， 0)$ C、 $[\frac{1}{e} ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ [\frac{1}{e} ， + \infty)$

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9. 有一个奇数组成的数阵排列如下：
$\begin{array}{l} 1 & 3 & 7 & 13 & 21 & ⋯ \\ 5 & 9 & 15 & 23 & ⋯ & ⋯ \\ 11 & 17 & 25 & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 19 & 27 & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 29 & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \end{array}$

则第30行从左到右第3个数是（）

A、929 B、989 C、1051 D、1111

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10. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d > 0$ ，且 $a_{1} > 0$ ．记 $T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，用 $a_{1}$ ， d分别表示 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ， $T_{3}$ ，并由此猜想 $T_{n} =$ （）

A、 $\frac{n}{a_{1} + n d}$ B、 $\frac{n}{a_{1}^{2} + n d}$ C、 $\frac{n}{a_{1}^{2} + a_{1} n d}$ D、 $\frac{n}{a_{1} + a_{1}^{2} n d}$

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11. 一般地，对于一元三次函数 $f (x)$ ，若 $f^{″} (x_{0}) = 0$ ，则 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为三次函数 $f (x)$ 的对称中心，已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 1$ 图象的对称中心的横坐标为 $x_{0} (x_{0} > 0)$ ，且 $f (x)$ 有三个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2})$ B、 $(- ∞ ， 0)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， - 1)$

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12. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} + e ， x \leq 0 \\ \frac{e^{x}}{x} ， x > 0 \end{array}$ ，则方程 $3 f (f (x)) - e^{3} = 0$ 的根的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 曲线 $f (x) = 2 s i n x + c o s x$ 在点 $(π ， f (π))$ 处的切线方程为．

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14. 函数 $f (x) = - \frac{3}{4} l n x + \sqrt{x + 1}$ 的单调递减区间是．

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15. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式 $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}$ 中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 $1 + \frac{1}{x} = x$ 求得 $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ，类似上述过程，则 $\sqrt{3 + \sqrt{3 + \sqrt{\dots}}} =$ ．

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16. 若函数 $y = x + a e^{x} (l n x - x)$ 存在零点，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 求证：在区间 $[1 ， + \infty)$ 上，函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + l n x$ 的图象恒在函数 $g (x) = \frac{2}{3} x^{3}$ 的图象的下方．

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18. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ．

(1)、求 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{8}{a + b}$ 的最小值；

(2)、求证： $a^{2} + a < 2$ 与 $b^{2} + b < 2$ 不可能同时成立．

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19. 已知函数f(x)＝ $\frac{1}{4}$ x³－x²＋x.

(1)、求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程；

(2)、当x∈[－2，4]时，求证：x－6≤f(x)≤x.

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20. 已知函数 $f (x) = (x + a) l n x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间及极值；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $f (x)$ 有极小值，求实数a的取值范围．

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21. 已知f(n)＝1＋ $\frac{1}{2^{3}}$ ＋ $\frac{1}{3^{3}}$ ＋ $\frac{1}{4^{3}}$ ＋ $⋯$ ＋ $\frac{1}{n^{3}}$ ， $g (n) =$ $\frac{3}{2}$ － $\frac{1}{2 n^{2}}$ ， n∈N^*.

(1)、当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；

(2)、猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x - 2 x$ ， $g (x) = a x - 2 e^{x}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x \geq 0$ 时， $f (x + 1) \geq g (x)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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