广东省十五校联盟2021-2022学年高二下学期数学第一次（3月）联考试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{3} + a_{5} = 14$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $\frac{a_{2} + a_{3}}{a_{1} + a_{2}} = 2 ， a_{4} = 8 ，$ 则 $a_{6} =$ （）

A、31 B、32 C、63 D、64

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3. 已知 $f (x) = x^{2} + e^{x}$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、0 B、-4 C、-2 D、1

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4. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 12$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、54 B、36 C、27 D、18

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5. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若 $\frac{S_{6}}{S_{3}} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{3}}$ ＝（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{8}{25}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有导函数， $f (x)$ 图象如图所示，则下列不等式正确的是（）

A、 $f^{'} (a) < f^{'} (b) < f^{'} (c)$ B、 $f^{'} (b) < f^{'} (c) < f^{'} (a)$ C、 $f^{'} (a) < f^{'} (c) < f^{'} (b)$ D、 $f^{'} (c) < f^{'} (a) < f^{'} (b)$

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 5 ， a_{7} = 9$ ，设 $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{a_{n + 1}} + \sqrt{a_{n}}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前61项和为（）

A、 $7 - \sqrt{3}$ B、7 C、 $8 - \sqrt{3}$ D、8

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8. 设函数 $f (x) = a e^{x} - \ln x (a \neq 0)$ 在点 $x = 1$ 处的切线为 $l$ ，则 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为（）

A、1 B、2 C、 $a e$ D、 $a e - 1$

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二、多选题

9. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $S_{4} = 0$ ， $a_{5} = 5$ ，则（）

A、 $a_{n} = 2 n - 5$ B、 $a_{n} = 3 n - 10$ C、 $S_{n} = n^{2} - 4 n$ D、 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} - 2 n$

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10. 曲线 $f (x) = x^{3} - x + 3$ 在点P处的切线平行于 $y = 2 x - 1$ ，则点P的坐标为（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- 1 ， - 3)$ D、 $(1 ， - 3)$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} + f (0) \cdot x - f^{'} (0) \cdot \cos x + 2$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f^{'} (0) = 1$ C、 $f (0) = 1$ D、 $f^{'} (0) = - 1$

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12. (多选题)已知数列 ${a_{n}}$ 中，前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{n + 2}{3} a_{n}$ ，则 $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}$ 的值不可能为（）

A、2 B、5 C、3 D、4

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三、填空题

13. 若 $f^{'} (2) = 3$ ，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (2 + 2 Δ x) - f (2)}{Δ x} =$ .

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14. 已知1， $a$ ， $b$ ， $c$ ，4成等比数列，则 $b =$ .

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15. 如图是函数 $y = f (x)$ 的图象.

(1)、函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的平均变化率为；

(2)、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的平均变化率为.

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16. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 2$ ， $a_{n} a_{n - 1} = 2 a_{n - 1} - 1 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} - 1}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 求下列函数的导数．

(1)、 $y = x^{- 2} + x^{2}$ ；

(2)、 $y = 3^{x} e^{x} - 2^{x} + e$ ；

(3)、 $y = \frac{l n x}{x^{2} + 1}$ ；

(4)、 $y = x^{2} - 4 s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2}$ ．

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18. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ ．

(1)、证明数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = 2 n$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{2 n + 1}}$ 的前n项和．

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20. 已知函数 $f (x) = 3 x + \cos 2 x + \sin 2 x$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $a = f^{'} (\frac{π}{4})$ ，求过曲线 $y = x^{3}$ 上一点 $P (a ， b)$ 的切线方程．

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21. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．已知 $a_{1} = 10$ ， $a_{2}$ 为整数，且 $S_{n} \leq S_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = | a_{n} |$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{20}$ 的值．

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22. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + ⋯ + \frac{a_{n}}{n} = 3^{n} - 1$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} = \frac{2 S_{n} - 1}{4^{n}}$ ，证明：对任意的 $n \in N^{*} ， T_{n} \leq T_{4}$ ．

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