广东省深圳市重点中学2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列数列中成等差数列的是（）

A、 $\frac{1}{2} ， \frac{1}{3} ， \frac{1}{4}$ B、 $l g 5 ， l g 6 ， l g 7$ C、 $1 ， \frac{7}{8} ， \frac{3}{4}$ D、 $2 ， 3 ， 5$

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2. 已知椭圆 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ ，则它的短轴长为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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3. 已知向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}} ， \vec{e_{3}}$ 是两两垂直的单位向量，且 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} - \vec{e_{3}} ， \vec{b} = \vec{e_{1}} + 2 {\vec{e}}_{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、5 B、1 C、-1 D、7

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4. 将一张坐标纸折叠一次，使点 $(2 ， 0)$ 与 $(- 6 ， 8)$ 重合，求折痕所在直线是（）．

A、 $x - y - 6 = 0$ B、 $x + y + 6 = 0$ C、 $x + y - 6 = 0$ D、 $x - y + 6 = 0$

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5. 已知等比数列{an}的前n项和为S，若 $a_{2} a_{3} = 2 a_{1}$ ，且 $a_{2} + a_{4} = 10$ ，则S₃等于（）

A、28 B、26 C、28或-12 D、26或-10

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6. 如图，空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在 $\vec{O A}$ 上，且满足 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ，点N为BC的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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7. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l ： y = x$ 与双曲线 $C$ 在第一象限的交点为 $M$ ， $M$ 在 $x$ 轴上的投影恰好是 $F_{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{5} + 1$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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8. 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是（）

A、153 B、171 C、190 D、210

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二、多选题

9. 点P在圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点Q在圆 $C_{2} ： {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16$ 上，则（）

A、两个圆心所在的直线斜率为 $- \frac{4}{3}$ B、两个圆相交弦所在直线的方程为 $3 x - 4 y - 5 = 0$ C、两圆公切线有两条 D、|PQ|的最小值为0

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）

A、直线BC₁与直线 $A D_{1}$ 所成的角为90° B、B₁D⊥平面ACD₁ C、点B₁到平面ACD₁的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、直线B₁C与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 数列{an}的前n项和为Sn， $S_{n} = 3^{n - 1} (n \in N^{*})$ ，则有（）

A、{Sn}为等比数列 B、 $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ C、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 1 ， n = 1 \\ 2 \cdot 3^{n - 2} ， n \geq 2 \end{array}$ D、{nSn}的前n项和为 $\frac{(2 n - 1) \cdot 3^{n} + 1}{4}$

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12. 已知曲线C的方程为 $F (x ， y) = 0$ ，集合 $T = {(x ， y) | F (x ， y) = 0}$ ，若对于任意的 $(x_{1} ， y_{1}) \in T$ ，都存在 $(x_{2} ， y_{2}) \in T$ ，使得 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ 成立，则称曲线C为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $x^{2} - y^{2} = 1$ C、 $y^{2} = 2 x$ D、 $| y | = | x | + 1$

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三、填空题

13. 直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角为.

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为零，若 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{6}$ 成等比数列，则 $a_{2} =$ .

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点M是双曲线右支上一点 $| O M | = | O F_{2} |$ ， $| M F_{1} | = 2 | M F_{2} |$ ，则双曲线的渐近线方程为.

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16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足 $λ = \frac{1}{2}$ 的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线E：y²=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则 $\frac{1}{2} | P B | + | P Q | + | Q H |$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知圆D经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.

(1)、求圆D的标准方程；

(2)、若直线l： $3 x - 4 y + 2 = 0$ 与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度.

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18. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过点 $P (2 ， - 1)$ 作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.

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19. 王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6000元，她计划以此作为启动资金进行理投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.

(1)、求证：数列{ $a_{n}$ -5000}为等比数列；

(2)、如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅（商场标价为12899元），将一年后投资市值全部取出来是否足够？ $(1 . 2^{11} = 7.43 ， 1 . 2^{12} = 8.92)$

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20. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的等边三角形，D为棱AC中点.

(1)、证明：AB₁//平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、若面B₁BC₁与面BC₁D的夹角余弦值为 $\frac{3}{4}$ ，求 $C C_{1}$ .

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21. 已知数列{a_n}的前n项和为Sn， $a_{1} = 1 ， 2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ .

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2} - 1}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，求使不等式 $2022 T_{n} > m$ 成立的最大整数m的值.

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22. 已知点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ，圆 $F_{2} ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 8$ ，点Q在圆 $F_{2}$ 上运动， $Q F_{1}$ 的垂直平分线交 $Q F_{2}$ 于点P.

(1)、求动点P的轨迹的方程 $C$ ；

(2)、过点 $(0 ， - \frac{1}{3})$ 的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.

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