北京市海淀区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-04-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 计算 $(\sqrt{3})^{2}$ 的结果为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、6 D、9

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2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）

A、1；1；1 B、2；3；4 C、1； $\sqrt{3}$ ；2 D、 $\sqrt{7}$ ；3；5

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3. 把直线y＝3x向下平移2个单位，得到的直线是（）

A、y＝3x﹣2 B、y＝3（x﹣2） C、y＝3x+2 D、y＝3（x+2）

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4. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $∠ C A B = 40 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、40° B、50° C、60° D、70°

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5. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋40双，各种尺码的鞋的销售量如表所示：
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
7
14
8
3
店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为24 cm的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $A B$ 边上的高 $C D$ 的长为（）

A、4 B、 $\frac{24}{5}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $10$

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7. 如图，一次函数 $y = x + 1$ 与 $y = k x + b$ 的图象交于点P，则关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} y = x + 1 \\ y = k x + b \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 4 \end{array}$

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8. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $O A B C$ 的顶点A，C的坐标分别是 $(4 ， - 2)$ ， $(1 ， 2)$ ，点B在x轴上，则点B的横坐标是（）

A、4 B、 $2 \sqrt{5}$ C、5 D、 $4 \sqrt{2}$

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9. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（）

A、8m B、10m C、12m D、15m

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10. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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二、填空题

11. 若二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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12. 函数 $y = k x$ （k是常数， $k \neq 0$ ）的图象上有两个点 $A_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $A_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ，写出一个满足条件的函数解析式：．

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13. 如图， $A$ ， $B$ 两点被池塘隔开，在 $A B$ 外选一点 $C$ ，连接 $A C$ 和 $B C$ ．分别取 $A C$ ， $B C$ 的中点 $D$ ， $E$ ，测得 $D$ ， $E$ 两点间的距离为 $30 m$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点间的距离为 $m$ ．

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14. 一个水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度．
t/h
0
1
2
3
4
5
y/m
3
3.3
3.6
3.9
4.2
4.5
据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h水位高度将为m．

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15. 在平面直角坐标系xOy中，直线 $y = k x$ （ $k > 0$ ）与直线 $y = - x + 3$ ，直线 $y = - x - 3$ 分别交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ，则 $y_{1} + y_{2}$ 的值为．

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16. 某校八年级有600名学生，为了解他们对安全与环保知识的认识程度，随机抽取了30名学生参加安全与环保知识问答活动．此活动分为安全知识和环保知识两个部分．这30名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示．根据下图，判断安全知识成绩的方差 ${s_{1}}^{2}$ 和环保知识成绩的方差 ${s_{2}}^{2}$ 的大小： ${s_{1}}^{2}$ ${s_{2}}^{2}$ （填“＞”，“＝”或“＜”）．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} + 2 \sqrt{\frac{1}{2}}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ ．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E，F分别在BC，AD上，且 $B E = D F$ ，连接AE，CF．求证：AE//CF．

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19. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．
求作：直线AD，使得AD// l．
作法：如图2，
①在直线l 上任取两点B，C，连接AB；
②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D；
③作直线AD．
直线AD 就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接CD．
∵ AB ＝▲ ， BC ＝▲ ，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（）（填推理的依据）．
∴ AD// l．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数的图象经过点 $A (- 4 ， 0)$ 与 $B (0 ， 5)$ ．

(1)、求这个一次函数的解析式；

(2)、若点C是x轴上一点，且 $△ A B C$ 的面积是5，求点C的坐标．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 为边 $A B$ 上的中线，点E与点D关于直线 $A C$ 对称，连接 $A E$ ， $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C D$ 是菱形；

(2)、连接BE，若 $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 2$ ，求 $B E$ 的长．

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22. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口市联合举行．为了解学生对冬奥会冰雪项目的认识程度，某校体育组老师从该校八年级学生中随机抽取了20名学生进行冰上项目和雪上项目的知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．测试成绩的频数分布表如下：
$50 \leq x < 60$
$60 \leq x < 70$
$70 \leq x < 80$
$80 \leq x < 90$
$90 \leq x \leq 100$
冰上项目
0
0
12
6
2
雪上项目
1
4
7
3
5
b．雪上项目测试成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是：
70，70，70，71，71，73，75
c．冰上项目和雪上项目测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
项目
平均数
中位数
众数
冰上项目
77.95
76
75
雪上项目
76.85
m
70
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表中m的值为；

(2)、在此次测试中，某学生的冰上项目测试成绩为75分，雪上项目测试成绩为73分，这名学生测试成绩排名更靠前的是（填“冰上”或“雪上”）项目，并说明理由；

(3)、已知该校八年级共有200名学生，假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1} ： y_{1} = x + 1$ 与直线 $l_{2} ： y_{2} = 2 x - 2$ 交于点A．

(1)、求点A的坐标；

(2)、当 $y_{1} > y_{2}$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、已知直线 $l_{3} ： y_{3} = k x + 1$ ，当 $x < 3$ 时，对于x的每一个值，都有 $y_{3} > y_{2}$ ，直接写出k的取值范围．

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24. 在正方形 $A B C D$ 中，F是线段 $B C$ 上一动点（不与点B，C重合），连接 $A F$ ， $A C$ ，分别过点F，C作 $A F$ ， $A C$ 的垂线交于点Q．

(1)、依题意补全图形，并证明 $A F = F Q$ ；

(2)、过点Q作 $N Q$ ∥ $B C$ ，交 $A C$ 于点N，连接 $F N$ ．若正方形 $A B C D$ 的边长为1，写出一个 $B F$ 的值，使四边形 $F C Q N$ 为平行四边形，并证明．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P$ 与 $▱ A B C D$ ，给出如下的定义：
将过点 $P$ 的直线记为 $l_{P}$ ，若直线 $l_{P}$ 与 $▱ A B C D$ 有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线 $l_{P}$ 与 $▱ A B C D$ 的“穿越距离”，记作 $d (l_{P} ， ▱ A B C D)$ ．

例如，已知过点 $O$ 的直线 $l_{O} ： y = x$ 与 $▱ H I J K$ ，其中 $H (- 2 ， - 1)$ ， $I (1 ， - 1)$ ， $J (2 ， 1)$ ， $K (- 1 ， 1)$ ，如图所示，则 $d (l_{O} ， ▱ H I J K) = 2 \sqrt{2}$ ．

请解决下面的问题：

已知 $▱ A B C D$ ，其中 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 2)$ ， $C (t ， 4)$ ， $D (t - 2 ， 4)$ ．

(1)、当 $t = 3$ 时，已知 $M (2 ， 3)$ ， $l_{M}$ 为过点 $M$ 的直线 $y = k x + b$ ．
①当 $k = 0$ 时， $d (l_{M} ， ▱ A B C D) =$ _ ▲ ；当 $k = 1$ 时， $d (l_{M} ， ▱ A B C D) =$ ▲ ；

②若 $d (l_{M} ， ▱ A B C D) = \sqrt{5}$ ，结合图象，求 $k$ 的值；

(2)、已知 $N (- 1 ， 0)$ ， $l_{N}$ 为过点 $N$ 的直线，若 $d (l_{N} ， ▱ A B C D)$ 有最大值，且最大值为 $2 \sqrt{5}$ ，直接写出 $t$ 的取值范围．

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	$50 \leq x < 60$	$60 \leq x < 70$	$70 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x \leq 100$
冰上项目	0	0	12	6	2
雪上项目	1	4	7	3	5

项目	平均数	中位数	众数
冰上项目	77.95	76	75
雪上项目	76.85	m	70

尺码/cm	22	22.5	23	23.5	24	24.5	25
销售量/双	1	2	5	7	14	8	3

t/h	0	1	2	3	4	5
y/m	3	3.3	3.6	3.9	4.2	4.5