广西壮族自治区百色市靖西市2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-04-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列根式中，最简二次根式是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ B、 $\sqrt{0.3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{12}$

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2. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + 3 x y = 3$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 3$ C、 $x^{2} + 3 x$ D、 $x^{2} = 3$

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3. 下列根式中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{9}$ C、 $\sqrt[3]{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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4. 把方程x²＋8x＋7＝0变形为（x＋h）²＝k的形式应为（）

A、（x＋4）²＝－7 B、（x－4）²＝－7 C、（x＋4）²＝9 D、（x－4）²＝9

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5. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 $\sqrt{(a + b)^{2}}$ 的结果是（）

A、a+b B、﹣a+b C、a﹣b D、﹣a﹣b

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6. 下列等式中，对于任何实数 $a$ 、 $b$ 都成立的（）

A、 $\sqrt{a^{4}} = a^{2}$ B、 $\sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$ C、 $\sqrt{a^{2}} = a$ D、 $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

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7. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 无实数根，则（）

A、 $m > 4$ B、 $m ≥ 4$ C、 $m < 4$ D、 $m = 4$

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8. 已知 $△ A B C$ 的三条边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，三个角分别为 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ ，则不能证明 $△ A B C$ 为直角三角形的是（）

A、 $∠ A + ∠ B = 90 °$ B、 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ C、 $∠ C = 90 °$ D、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$

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9. 坐标轴上到点 $P (- 1 ， 0)$ 的距离等于4的点有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm，则正方形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的面积之和为（）cm²

A、12 cm² B、4 cm² C、36 cm² D、6 cm²

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11. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染了 $m$ 人，则列方程正确的是（）

A、 $1 + m = 144$ B、 $1 + m + m (m + 1) = 144$ C、 $m (m + 1) = 144$ D、 $m + m (m + 1) = 144$

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12. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 $A B = 7$ ， $B C = 4$ ， $B F = 6$ ，点 $M$ 在棱 $A B$ 上，且 $A M = 1$ ，点 $N$ 是 $F G$ 的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点 $M$ 爬行到点 $N$ ，它需要爬行的最短路程为（）

A、 $10$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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二、填空题

13. $\sqrt{4}$ 化简得.

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14. 已知二次根式 $\sqrt{x - 2}$ ，写出 $x$ 的范围

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15. 将一元二次方程 $3 x^{2} + 1 = 6 x$ 化为一般形式后二次项系数为3，则一次项系数为.

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16. 已知方程 $2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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17. 三角形两边长分别是3和4，第三边长是 $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ 的一个实数根，则该三角形的面积是.

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18. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25.请你写出有以上规律的第④组勾股数：.

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、 $x^{2} = 4 x$ （因式分解法）

(2)、 $2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ （公式法）

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20. 计算：

(1)、 $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$

(2)、 $\sqrt{18} - \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{8}}{2} + {(\sqrt{5} - 1)}^{0}$

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21. 已知方程 $5 x^{2} + k x - 6 = 0$ 的一根是2，求它的另一根及k的值．

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22. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (m + 2) x + m - 1 = 0$ .求证：无论 $m$ 取何值，原方程总有两个不相等的实数根.

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23. 小明在解决问题，已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值，他是这样分析与解答的：
∵ $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ .
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$ .
∴ $(a - 2)^{2} = 3$ ，即 $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ .
∴ $a^{2} - 4 a = - 1$ ，
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ .
请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：

(1)、分母有理化： $\frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2020}} =$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2020}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $3 a^{2} - 12 a + 6$ 的值.

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24. 如图，某工厂 $C$ 前面有一条笔直的公路，原来有两条路 $A C$ ， $B C$ 可以从工厂 $C$ 到达公路，经测量 $A C = 5$ 千米， $B C = 12$ 千米， $A B = 13$ 千米，现需要修建一条路，使工厂 $C$ 到公路的路程最短.请你帮工厂 $C$ 设计一种方案，并求出新建路的长（精确到0.01米）.

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25. 列一元二次方程解应用题
某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元.假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同.

(1)、求每个月增长的利润率；

(2)、请你预测4月份该公司的纯利润是多少？

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