浙江省温州市环大罗山联盟2020-2021学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 化简 $\frac{2 (1 + i)}{(1 - i)^{2}} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 - i$

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2. 抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{1}{4})$ C、 $(0 ， \frac{1}{8})$ D、 $(0 ， 1)$

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3. 已知直线l两个不同的平面 $α ， β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $l / / α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $l / / α$ ， $l / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ α$ ，则 $l / / β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $l / / α$ ，则 $l ⊥ β$

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4. 函数 $f (x) = (x - 2) e^{- x}$ 有（）

A、极大值点3 B、极小值点3 C、极大值点1 D、极小值点1

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5. 若函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + a$ 在区间 $[- 2 ， 0]$ 上的最大值为2，则它在 $R$ 上的极大值为（）

A、-5 B、-3 C、24 D、27

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6. 利用数学归纳法证明等式： $1 \cdot n + 2 \cdot (n - 1) + 3 \cdot (n - 2) + ⋯ + n \cdot 1$ $= \frac{1}{6} n (n + 1) (n + 2) (n \in N^{*})$ ，当 $n = k$ 时，左边的和 $1 \cdot k + 2 \cdot (k - 1) + 3 \cdot (k - 2) + ⋯ + k \cdot 1$ 记作 $S_{k}$ ，则当 $n = k + 1$ 时左边的和记作 $S_{k + 1}$ ，则 $S_{k + 1} - S_{k} =$ （）

A、 $1 + 2 + 3 + ⋯ + (k - 2)$ B、 $1 + 2 + 3 + ⋯ + (k - 1)$ C、 $1 + 2 + 3 + ⋯ + k$ D、 $1 + 2 + 3 + ⋯ + (k + 1)$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{4}{a_{n + 1} + a_{n}}$ ，若数列 ${\frac{1}{a_{n + 1} + a_{n}}}$ 的前n项和为4，则n为（）

A、81 B、80 C、64 D、63

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8. 椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $Ω$ ： $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ 焦点相同， $F$ 为左焦点，曲线 $Γ$ 与 $Ω$ 在第一象限、第三象限的交点分别为 $A$ 、 $B$ ，且 $∠ A F B = \frac{2 π}{3}$ ，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $2 x + y = 0$ C、 $x - \sqrt{2} y = 0$ D、 $\sqrt{2} x + y = 0$

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9. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，其导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，若 $f (x)$ 满足 $(x - 1) [f^{^{'}} (x) - f (x)] > 0 ， f (2 - x) = f (x) \cdot e^{2 - 2 x}$ 则下列判断一定正确的是（）

A、 $f (1) < f (0)$ B、 $f (2) > e^{2} f (0)$ C、 $f (3) > e^{3} f (0)$ D、 $f (4) < e^{4} f (0)$

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10. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} 4 a^{x} - a (x \leq 0) \\ x^{3} - a x + 2 (x > 0) \end{matrix}$ ，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(2 ， 4]$ C、 $(3 ， 4]$ D、 $(3 ， 5)$

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二、填空题

11. 若复数 $z = (1 - i) (1 + 2 i)$ ，则复数 $z$ 的虚部为； $| \frac{(1 - i) (1 + 2 i)}{1 + \sqrt{3} i} | =$ ．

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12. 若函数 $f (x) = x (x - a)^{2}$ 在 $x = 2$ 处取得极小值，则 $a =$ ；函数的极大值为．

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13. 已知函数 $f (x) = b l n x$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线与曲线 $g (x) = x^{3} + a x$ 相切，且该切线经过点 $(0 ， - 16)$ ，则 $a =$ ， $b =$

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14. 已知两个单位向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为 $12 0^{∘}$ ， $\vec{c} = t \vec{a} + (1 - t) \vec{b}$ ，若向量 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角均为锐角，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ； $| \vec{c} |$ 的取值范围为．

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15. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + a s i n x$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + 2 b (a ， b \in R)$ 恰有两个相异零点，则 $| a | - | b |$ 的最大值为．

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17. 设函数 $f (x) = | \frac{1}{x} + a x + b |$ ，若对任意的实数 $a ， b$ ，总存在 $x_{0} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 使得 $f (x_{0}) \geq m$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = x l n x - a e^{x} + a$ ，其中a∈R.

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数在 $(e ， f (e))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.

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19. 在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = B C = A D = 2$ ， $C D = 4$ ， E为 $C D$ 中点，将 $△ B C E$ 沿着 $B E$ 折起，点C变成点P，此时 $P C = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证： $A D ⊥ P C$ ；

(2)、求直线 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{4} ， a_{n} + b_{n} = 1 ， b_{n + 1} = \frac{b_{n}}{1 - a_{n}^{2}}$

(1)、求 $b_{1} ， b_{2} ， b_{3} ， b_{4}$ ，猜想数列 ${b_{n}}$ 的通项公式，并用数学归纳法证明；

(2)、若 $S_{n} = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + \dots + a_{n} a_{n + 1}$ ，且 $4 a S_{n} < b_{n}$ 对于 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (y > 0)$ ，其焦点为F，抛物线上有相异两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ．

(1)、若 $A F / / x$ 轴，且经过点A的抛物线的切线经过点 $(1 ， 0)$ ，求抛物线方程；

(2)、若 $p = 2$ ，且 $| A F | + | B F | = 4$ ，线段AB的中垂线交x轴于点C，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{2} (a x - \frac{1}{x})$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，证明：当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > 0$ ；当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ．

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < \frac{1 - a}{2}$ ．

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