浙江省台州市9 1高中联盟2020-2021学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x \leq 3}$ ， $B = {x | 1 \leq x \leq 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 4}$ B、 ${x | 1 < x < 3}$ C、 ${x | 1 \leq x < 4}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$

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2. 已知 $(1 - i) z = 2$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 用数学归纳法证明 $\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + ⋯ + \frac{1}{2 n} < 1 (n \in N^{•} ， n ⩾ 2)$ 时，从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ ，不等式左边需添加的项是（）

A、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)} - \frac{1}{k}$ B、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{k}$ D、 $\frac{1}{2 (k + 1)}$

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4. 若幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{- m^{2} + m + 3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，则实数 $m$ 的值是（）

A、-1或3 B、3 C、-1 D、0

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5. 已知 $m \in R$ ， “ $2 < m < 4$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{m - 2} + \frac{y^{2}}{4 - m} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若随机变量 $ξ ~ B (n ， p)$ ，且 $E (ξ) = 2$ ， $D (ξ) = \frac{8}{5}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 某寝室6名同学打算在“五一假期（1日至5日）”中，随便选择一天参加志愿者活动，则不同的参加种数是（）

A、 $C_{6}^{5}$ B、 $A_{6}^{5}$ C、 $6^{5}$ D、 $5^{6}$

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8. 函数 $f (x) = \frac{l n (\sqrt{x^{2} + 1} - k x)}{2^{x} + 2^{- x}} (k \in R)$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{5} (1 - x) | ， x < 1 \\ - (x - 2)^{2} + 2 ， x \geq 1 \end{array}$ ，则方程 $f (x + \frac{1}{x} - 2) = a$ 的实根个数最多有（）

A、6个 B、7个 C、8个 D、9个

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10. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，对任意 $x \in [- 1 ， 1]$ ，均有 $| a x^{2} + b x + c | \leq 1$ ，则当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时，函数 $f (x) = | (a x^{2} + b x + c) (c x^{2} + b x + a) |$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 若双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则焦点到渐近线的距离是，焦距为．

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12. 计算：

(1)、 $π^{0} + (\frac{3}{2})^{2} \cdot (3 \frac{3}{8})^{- \frac{2}{3}} + \sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} =$ ，

(2)、 $5^{l g 20} (\frac{1}{5})^{l g 0.2} =$ ．

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13. 已知 $(1 + x - a x^{2}) {(1 + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中所有项的系数和为64，则实数 $a =$ ，常数项为．

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14. 已知空间向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 两两夹角均为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} ∣$ ．若存在非零实数 $λ$ ， $μ$ ，使得 $\vec{O P} = λ (\vec{O A} + \vec{O B})$ ， $\vec{B Q} = μ (\vec{O C} - \vec{O B})$ ，且 $\vec{O P} \cdot \vec{P Q} = \vec{B Q} \cdot \vec{P Q} = 0$ ，则 $λ =$ ， $μ =$ ．

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15. 已知 $f^{^{'}} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $f (\frac{1}{2}) = e$ ，其中 $e$ 是自对数的底数，对任意 $x \in R$ ，恒有 $f^{'} (x) + 2 f (x) > 0$ ，则不等式 $f (x) > e^{2 - 2 x}$ 的解集为．

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16. 已知 $a ， b ， c ， d \in N$ ，满足方程 $a + b + c + d = 10$ ，则这个方程解的组数为．（用数字作答）

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17. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，过平面内一点 $P$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与 $Γ$ 分别相交于 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 、 $D$ ，若 $\frac{1}{| A P | \cdot | B P |} + \frac{1}{| C P | \cdot | D P |} = \frac{41}{256}$ ，则 $| O P |$ 的最小值为．

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三、解答题

18. 已知 $b$ 是实数，函数 $f (x) = (x^{2} + b x) l n x$ ．
（Ⅰ）当 $b = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；
（Ⅱ）若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $b$ 的值．

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19. 为了纪念中国古代数学家祖冲之，2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节．某校数学文化节中，书吧推出“与 $π$ 有缘”摸球兑奖活动．规则如下：一只不透明的箱子里放着完全相同且分别标有编号的八个球（三个3，一个1，四个4），从中一次性任意摸出3个球，根据摸出的3个球的编号数字（数字无顺序）兑奖，设一、二、三等奖如下：
获奖等级
3个球的编号数字
奖品
一等奖
3，1，4
280元购书卡一张
二等奖
1，3，3或1，4，4
140元购书卡一张
三等奖
3，3，3或4，4，4
70元购书卡一张
其余情况视为无奖，每人只能一次摸球机会．

(1)、求摸奖者在一次摸球时恰好获得“280元购书卡一张”的概率；

(2)、求摸奖者在一次摸奖中获得奖品金额 $ξ$ （单位：元）的分布列与期望．

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20. 如图，在四棱锥 $B - A C D E$ 中， $A E ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C / / D E$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = A E = D E = \frac{1}{2} A C = 2$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别为线段 $B E$ ， $C D$ ， $A C$ 的中点．
（Ⅰ）求异面直线 $B E$ 与 $G H$ 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线 $D F$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值．

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21. 如图，设曲线 $ξ ： y^{2} = x - 1$ 过抛物线 $Γ ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，直线 $l_{1}$ 过 $F$ 与 $Γ$ 从下到上依次交于 $A$ ， $B$ ，与 $ξ$ 交于 $F$ ， $P$ ，直线 $l_{2}$ 过 $F$ 与 $Γ$ 从下到上依次交于 $C$ ， $D$ ，与 $ξ$ 交于 $Q$ ， $F$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率乘积为-2．

(1)、求 $P$ ， $Q$ 两点的纵坐标之积；

(2)、设 $△ A C F$ ， $△ P Q F$ ， $△ B D F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，求 $\frac{S_{1} \cdot S_{3}}{S_{2}^{2}}$ 的值．

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22. 已知函 $f (x) = x^{3} + a | x - \frac{3}{a} | - 2$ ， $a > 0$ ．
（Ⅰ）当 $a = 3$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值与最小值；
（Ⅱ）当 $0 < a < 1$ 时，求过点 $P (2 ， 0)$ 且与曲线 $f (x)$ 相切的直线的条数．

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获奖等级	3个球的编号数字	奖品
一等奖	3，1，4	280元购书卡一张
二等奖	1，3，3或1，4，4	140元购书卡一张
三等奖	3，3，3或4，4，4	70元购书卡一张