浙江省杭州市八校联盟2020-2021学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $z = - 1 - i$ 在复平面内的对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 函数 $y = s i n (- x)$ 的导函数为（）

A、 $y = s i n x$ B、 $y = - c o s (- x)$ C、 $y = c o s x$ D、 $y = c o s (- x)$

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3. 函数 $y = f （ x ）$ 在定义域内可导，导函数 $y = f' （ x ）$ 的图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 3 + \dots + (2 n + 1) = (n + 1) (2 n + 1)$ 时，第一步当 $n = 1$ 时，左边的代数式是（）

A、1 B、 $1 + 2$ C、 $1 + 2 + 3$ D、 $1 + 2 + 3 + 4 + 5$

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5. 若 $(\sqrt{x} + a)^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为80，则实数 $a =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文､数学､英语）+2（物理､历史）选1+4（化学､生物､地理､政治）选2的模式设置的，则某考生选择全文科的概率是（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{1}{12}$

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7. 某教育局安排4名骨干教师分别到3所农村学校支教，若每所学校至少安排1名教师，且每名教师只能去一所学校，则不同安排方案有（）

A、6种 B、24种 C、36种 D、72种

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8. 用红､黄､蓝三种颜色给图中的 $A 、 B 、 C 、 D$ 四个小方格涂色，使相邻小方格（有公共边的小格）不同色，三种颜色可用完也可不用完，则不同的涂色方案种数为（）

A

B

C

D

A、6种 B、12种 C、18种 D、24种

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9. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} + 2 b x + c$ 在 $(0 ， 1)$ 上取得极大值，在 $(1 ， 2)$ 上取得极小值，则 $\frac{b - 1}{a - 1}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{1}{3})$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- x} & x \leq 0 \\ - x^{2} - 2 x + 1 & x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k x$ 有两个零点，则实数 $k$ 等于（ $e$ 为自然对数的底数）（）

A、 $- e$ B、-1 C、2 D、 $2 e$

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二、填空题

11. 已知 $i$ 是虚数单位，若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2$ ，则 $z$ 的虚部为； $\bar{z} =$ .

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12. 函数 $y = l n x$ 的图象在点 $(1 ， 0)$ 处切线的斜率是，切线的方程是

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13. ${(\frac{x}{2} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{4}$ 展开式中的常数项为；常数项的二项式系数为.

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14. 5个人排成一排，若要求甲､乙两人不相邻，则有（用数字作答）种不同的排法；若要求甲､乙两人必须相邻，且丙不在最左端，则有（用数字作答）种不同的排法.

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三、填空题

15. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下图所示，若 $p (ξ \leq x) = \frac{3}{4}$ ，则实数 $x$ 的取值范围是.
$ξ$
-2
0
2
3
$P$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$
$a$

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + l n x + (a - e) x$ 在 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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17. 已知 $f^{^{'}} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，且对任意的实数 $x$ 都有 $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + 1) + f (x) ， f (0) = - 2$ ，则不等式 $f (x) < 4 e^{x}$ 的解集为.

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四、解答题

18. 已知复数 $z = \frac{(1 - i)^{2} + 2 (5 + i)}{2 + i}$ .

(1)、求 $| z |$ ；

(2)、若复数 $z$ 满足 $z (z + a) = b - 8 i$ ，求实数 $a ， b$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x$ ，在 $x = - 1$ 时有极值0.

(1)、求常数 $a ， b$ 的值；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- 4 ， 0]$ 上的值域.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{n + 1} - a_{n + 1} a_{n} - 1 = 0 ， a_{1} = 0$ .

(1)、计算 $a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5}$ 的值；

(2)、根据以上计算结果，猜想 ${a_{n}}$ 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.

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21. 设函数 $f (x ， y) = (1 + m y)^{x} (m > 0 ， y > 0)$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $f (8 ， y)$ 的展开式中二项式系数最大的项；

(2)、已知 $f (2 n ， y)$ 的展开式中各项的二项式系数和比 $f (n ， y)$ 的展开式中各项的二项式系数和大992，若 $f (n ， y) = a_{0} + a_{1} y + ⋯ + a_{n} y^{n}$ ，且 $a_{2} = 90$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n}$

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22. 设函数 $f (x) = \frac{e^{x} + x}{x} ， g (x) = l n x + \frac{1}{x}$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若直线 $x = m (m > 0)$ 与曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 分别交于点 $P$ 和 $Q$ ，求 $| P Q |$ 的最小值；

(3)、设函数 $F (x) = x [f (x) - 1] [a + g (x)]$ ，当 $a \in (0 ， l n 2)$ 时，证明： $F (x)$ 存在极小值点 $x_{o}$ ，且 $e^{x_{0}} (a + l n x_{0}) < 0$ .

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$ξ$	-2	0	2	3
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$a$