浙江省A9协作体2020-2021学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $y = x^{2}$ 在 $x = 1$ 处的导数是（）

A、0 B、1 C、2 D、-2

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2. 当 $\frac{2}{3}$ ＜m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 用反证法证明命题“自然数 $a$ ， $b$ ， $c$ 中至少有一个偶数”，则证明的第一步，其正确反设为（）

A、 $a$ ， $b$ ， $c$ 都是偶数 B、 $a$ ， $b$ ， $c$ 没有一个偶数 C、 $a$ ， $b$ ， $c$ 至少有一个奇数 D、 $a$ ， $b$ ， $c$ 至多有一个偶数

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4. 用数学归纳法证明“ $n$ 多边形内角和定理： $f (n) = (n - 2) \cdot 180 °$ ”时，第一步应验证 $n =$ （）时成立

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 复数 $\frac{2}{1 + i}$ 的共轭复数是（）

A、1+i B、1-i C、-1+i D、-1-i

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6. 若 $f^{'} (x_{0}) = - 4$ ，则 $\underset{h \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0} - 3 h)}{h} =$ （）

A、-1 B、-4 C、-12 D、-16

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7. 已知 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的切线斜率等于 $- 4$ ，则切点坐标是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， - 2)$ 或 $(- \frac{1}{2} ， 2)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ 或 $(- \frac{1}{2} ， - 2)$ C、 $(\frac{1}{4} ， 4)$ 或 $(- \frac{1}{4} ， - 4)$ D、 $(\frac{1}{4} ， - 4)$ 或 $(- \frac{1}{4} ， 4)$

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8. 已知函数 $f (x) = (1 - x) (2 - x) (3 - x) ⋯ (2021 - x)$ ，则 $f^{'} (2021) =$ （）

A、 $- 1 \times 2 \times 3 \times ⋯ \times 2020$ B、 $1 \times 2 \times 3 \times ⋯ \times 2020$ C、 $- 1 \times 2 \times 3 \times ⋯ \times 2021$ D、 $1 \times 2 \times 3 \times ⋯ \times 2021$

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9. 已知函数 $f (x)$ 满足 $x^{3} f^{'} (x) + 3 x^{2} f (x) = 1 + l n x$ ，且 $f (\sqrt{e}) = \frac{1}{2 e}$ ，则当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x)$ （）

A、有极大值，无极小值 B、无极大值，有极小值 C、既有极大值又有极小值 D、既无极大值又无极小值

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10. 定义 $f (x) < g (x) < h (x)$ 对任意 $x \in D$ 恒成立，称 $g (x)$ 在区间 $D$ 上被 $f (x)$ 、 $h (x)$ 所夹，若 $y = l n x$ 在 $(0 ， + ∞)$ 被 $y = (1 - a) x$ 和 $y = - \frac{a}{x}$ 所夹，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $(0 ， \frac{2}{e})$ B、 $(\frac{e - 1}{e} ， \frac{2}{e})$ C、 $(\frac{1}{e} ， \frac{e - 1}{e})$ D、 $(\frac{2}{e} ， 1)$

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二、填空题

11. 为了解决“一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0 ， a ， b ， c \in R)$ 中 $△ = b^{2} - 4 a c < 0$ 无实根”的问题，瑞士数学家欧拉于 $1777$ 年引入了一个新数“ $i$ ”，使“ $i^{2} = - 1$ ”，于是在 $Δ < 0$ 时也有求根公式：“ $x = \frac{- b \pm \sqrt{| Δ |} \cdot i}{2 a}$ ”，从而解决了 $15$ 世纪意大利数学家卡丹在其著作《大术》中提出的问题：“将 $10$ 分成两个数，使它们的乘积等于 $40$ ”，则这两个数分别为：， .

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12. 已知 $l$ 是 $f (x) = x^{3} + x - 2$ 在点 $P_{0} (1 ， y_{0})$ 处的切线，则 $y_{0} =$ ，切线 $l$ 的方程是.

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13. 函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ 的单调减区间为，对于无理数 $e$ 、 $π$ ，则有关系： $\frac{1}{e}$ $\frac{l n π}{π}$ （用“ $=$ ， $>$ ， $<$ ”填空）.

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14. 设函数 $f (x) = e x + \frac{a}{x} - l n x$ 有两个不同极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是，若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (x_{1})$ 的取值范围是.

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15. 已知 $(1 - 2 i) \cdot \bar{z} = - 4 + 3 i$ ，则 $| z | =$ .

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16. 函数 $f (x) = x e^{x} + 2$ 的极小值是.

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17. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 4 x + 1 (x \in R)$ ，且 $f (x) - f (a) = {(x - a)}^{2} (2 x - b)$ ，则实数 $a =$ .

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三、解答题

18. 当实数 $m$ 取什么值时，复数 $z = (m^{2} - 8 m + 15) + (m^{2} - 5 m - 6) i$ 分别满足下列条件？
（Ⅰ）复数 $z$ 为实数；
（Ⅱ）复数 $z$ 为纯虚数；
（Ⅲ）复数 $z$ 对应的点位于直线 $y = x$ 上.

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19. 已知 $f (x)$ 是二次函数，方程 $f (x) = 0$ 有两个相等的实数根，且 $f^{'} (x) = 2 x + 2$ 恒成立.
（Ⅰ）求 $y = f (x)$ 的表达式；
（Ⅱ）设 $g (x) = x f (x) + 1$ ，求 $g (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值与最小值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{2} = 3$ ， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $2 S_{n} = n (a_{n} + 1)$ .
（Ⅰ）求 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ；

（Ⅱ）猜想 $a_{n}$ 的表达式，并用数学归纳法证明；

（Ⅲ）以 $(a_{n} ， \frac{S_{n}}{n} - 1)$ 为坐标的点 $P_{n} (n = 1 ， 2 ， \dots)$ 是否都落在同一直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.

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21.

(1)、用分析法证明： $2 \sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{7} + 2$ ；

(2)、已知 $f (x) = \frac{1}{2} l n x - \sqrt{x} + 1$ ， $x \in [\frac{1}{4} ， 1]$ ，求证： $f (x) \geq \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}$ .

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22. 对于函数 $f (x)$ ，若 $x_{0}$ 满足条件：“ $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，且 $x_{0}$ 不是 $f (x)$ 的极值点”，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的“平稳”点.
（Ⅰ）已知 $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 5$ ，求 $f (x)$ 的“平稳”点；
（Ⅱ）已知 $f (x) = x^{4} + (a + 2) x^{3} + 3 a x^{2} + b x + 1$ ，若存在 $a \in [- 1 ， 1]$ ，使得 $f (x)$ 有“平稳”点，求 $b$ 的取值范围.

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