新疆昌吉教育共同体2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若函数 $f (x) = x^{2} l n x (x > 0)$ 的极值点是 $α$ ，函数 $g (x) = x l n x^{2} (x > 0)$ 的极值点是 $β$ ，则有（）

A、 $α < β$ B、 $α > β$ C、 $α = β$ D、 $α$ 与 $β$ 的大小不确定

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位）， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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3. 曲线 $f (x) = 2 x - e^{x}$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程是（）

A、 $x + y + 1 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $x - y - 1 = 0$

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4. 已知函数f(x)＝ $\frac{1}{4}$ x²＋cosx，f'(x)是函数f(x)的导函数，则f'(x)的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 观察按下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n（n∈N₊）个等式应为（）

A、9（n+1）+n=10n+9 B、9（n－1）+n=10n－9 C、9n+（n－1）=10n－9 D、9（n－1）+（n－1）=10n－10

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6. 复数 $z = {(1 + i)}^{2} (2 + i)$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、-2 C、 $4 i$ D、1

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7. 在复平面内，复数z= $\frac{2 i}{1 + i}$ （i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 用数学归纳法证明 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ⋯ \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ⋯ + \frac{1}{2 n} (n \in N^{*})$ ，则从 $k$ 到 $k + 1$ 时左边添加的项是（）

A、 $\frac{1}{2 k + 1}$ B、 $\frac{1}{2 k + 2} - \frac{1}{2 k + 4}$ C、 $- \frac{1}{2 k + 2}$ D、 $\frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 2}$

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9. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）

A、12种 B、24种 C、36种 D、48种

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10. 若 $3 C_{2 n}^{3} = 5 A_{n}^{3}$ ，则整数 $n =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

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11. 函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} - 3}$ 在 $[2 ， 4]$ 上的最大值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $\frac{e^{3}}{6}$ C、 $\frac{e^{4}}{13}$ D、 $2 e^{2}$

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12. 设函数 $f' (x)$ 是奇函数 $f (x)$ （ $x \in R$ ）的导函数， $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f' (x) - f (x) < 0$ ，则使得 $f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知 $i$ 是虚数单位，若 $\frac{a + 3 i}{i} = b + i$ （ $a$ ， $b \in R$ ），则 $a b$ 的值为．

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14. “克拉茨猜想”又称“ $3 n + 1$ 猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数 $n$ ，如果 $n$ 是偶数，就将它减半；如果 $n$ 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数 $m$ 经过6次运算后得到1，则 $m$ 的值为．

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15. 6人排成一排合影，甲乙相邻但乙丙不相邻，共有（用数字）种不同的排法.

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16. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a l n x$ 在 $[\frac{1}{2} ， 3]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 求下列函数的导数：

(1)、 $y = \sqrt{x} l n x$ ；

(2)、 $y = \frac{1 + c o s x}{s i n x}$ ．

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18. 实数 $m$ 取何值时，复数 $(1 + i) m^{2} - m (5 + 3 i) + 6$ 是

(1)、实数？

(2)、虚数？

(3)、纯虚数？

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19. 求抛物线 $y = - x^{2} + 4 x - 3$ 及其在点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B (3 ， 0)$ 处的切线所围成图形的面积．

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20. 已知 $f (n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n} ， g (n) = \frac{1}{f (n) - 1} [f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (n - 1)]$ .

(1)、写出 $g (2)$ ， $g (3)$ ， $g (4)$ 的值；

(2)、归纳 $g (n)$ 的值，并用数学归纳法加以证明.

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21. 为支援武汉抗击疫情，某医院准备从6名医生和3名护士中选出5人组成一个医疗小组远赴武汉，请解答下列问题：（用数字作答）

(1)、如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？

(2)、医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？

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22. 已知函数 $f (x) = a x + l n x + 1$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、对任意的 $x > 0$ ，不等式 $f (x) \leq e^{x}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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