四川省乐山市十校2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{1 + i}{1 - i} =$ （）

A、－1 B、 $1 + i$ C、 $- i$ D、 $i$

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2. 曲线 $y = c o s x$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处的切线的斜率为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 某学校高二、高三年级共有2100人，现按照分层抽样的方法，抽取70人作为样本进行某项调查．若样本中高二年级学生有30人，则该校高二年级学生共有（）

A、480人 B、800人 C、840人 D、900人

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4. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $\frac{z - i}{1 + i} = 1 - i$ ，则 $| z + 3 | =$ （）

A、 $\sqrt{29}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{26}$ D、5

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5. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、8

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6. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是27，则输入的 $x$ 是（）

A、－3或 $3 \sqrt{3}$ B、3或 $- 3 \sqrt{3}$ C、－3或 $- 3 \sqrt{3}$ D、3或 $3 \sqrt{3}$

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $C C_{1}$ 上一点且 $C_{1} E = 2 E C$ ，则异面直线 $A E$ 与 $D_{1} C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{38}}{19}$ B、 $\frac{\sqrt{11}}{22}$ C、 $\frac{\sqrt{19}}{19}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{11}$

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8. 已知函数 $y = f (x)$ ，其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像如图所示，则下列对函数 $y = f (x)$ 表述不正确的是（）

A、在 $x = 3$ 处取极小值 B、在 $x = 2$ 处取极小值 C、在 $(0 ， 2)$ 上为减函数 D、在 $(2 ， 4)$ 上为增函数

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9. 某产品的宣传费用 $x$ （万元）与销售额 $y$ （万元）的统计数据如下表所示：
宣传费用 $x$ （万元）
3
1
2
6
销售额 $y$ （万元）
10
4
$a$
16
根据上表可得回归方程 $\hat{y} = 2 x + 3$ ，则宣传费用为2万元时销售额 $a$ 为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 已知函数 $f (x)$ 导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足关系式 $f (x) = l n x + 2 x f^{'} (1) + e^{x}$ ，则 $f^{'} (1)$ 的值等于（）

A、 $- 2 - e$ B、 $- \frac{e^{2}}{2} - 2$ C、 $- \frac{e^{2}}{2}$ D、 $- e - 1$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x) < 1 - f^{'} (x)$ ， $f (0) = 4$ ，则不等式 $f (x) < 1 + \frac{3}{e^{x}}$ 解集为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， 0)$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x \cdot e^{x} ， x \geq 0 \\ - x \cdot e^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，如果关于 $x$ 的方程 $[f (x)]^{2} + t \cdot f (x) + 1 = 0$ ( $t \in R$ )有四个不等的实数根，则 $t$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty ， - e - \frac{1}{e})$ B、 $(- e - \frac{1}{e} ， - 2)$ C、 $(2 ， e + \frac{1}{e})$ D、 $(e + \frac{1}{e} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 将二进制数 $1010 1_{(2)}$ 化为十进制数，结果为．

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14. 某班级为了解本班48名学生的心理健康情况，将这些学生编号为1，2，3，…，48，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取6名学生进行心理健康测试．若33号学生被抽到，则在13－18号学生中被抽到的是号．

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15. 若曲线 $f (x) = - e^{x} + 2$ 的一条切线与直线 $l$ ： $x - e y + 5 = 0$ 互相垂直，则该切线方程为．

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16. 已知函数 $f (x) = x \cdot e^{- x}$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - l n x + a$ ，若 $\exists x_{1} ， x_{2} \in [1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ ，记 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ．若曲线 $f (x)$ 在点 $x = 1$ 处的导数为－3，且 $x = 2$ 时 $y = f (x)$ 有极值．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值和最小值．

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18. 已知复数 $z = \frac{6 + 4 m i}{1 + i}$ （ $m \in R$ ， $i$ 是虚数单位）.
（Ⅰ）若 $z$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值；
（Ⅱ）设 $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，复数 $\bar{z} - 2$ 在复平面上对应的点位于第二象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - b x^{2} + 2 x + a$ ， $x = 2$ 是 $f (x)$ 的一个极值点．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $\exists x \in [1 ， 3]$ 时，使 $f (x) - a^{2} > \frac{3}{2}$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 某城市在进行新冠疫情防控中，为了解居民对新冠疫情防控的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分为100分），从中随机抽取一个容量为180的样本，发现所有数据均在 $[40 ， 100]$ 内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：

(1)、算出第三组 $[60 ， 70)$ 的频数，并补全频率分布直方图；

(2)、请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）

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21. 如图所示，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D$ ∥ $B C$ ， $∠ A D C = 60^{°}$ ，直角梯形 $A D F E$ 所在的平面垂直于平面 $A B C D$ ，且 $∠ E A D = 90^{°}$ ， $A E = A D = 2 D F = 2 C D = 2$ .

(1)、证明：平面 $E C D ⊥$ 平面 $A C E$ ；

(2)、点 $M$ 在线段 $E F$ 上，试确定点 $M$ 的位置，使平面 $M C D$ 与平面 $E A B$ 所成的二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a l n x}{x + 1} + \frac{b}{x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $x + 2 y - 3 = 0$ ．

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、如果当 $x > 0$ ，且 $x \neq 1$ 时， $f (x) > \frac{l n x}{x - 1} + \frac{k}{x}$ ，求 $k$ 的取值范围．

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宣传费用 $x$ （万元）	3	1	2	6
销售额 $y$ （万元）	10	4	$a$	16