上海市浦东新区2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-08 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、填空题

1. 复数 $3 + 4 i$ ( $i$ 为虚数单位)的模是．

查看试题解析
2. 圆心为 $(- 1 ， 2)$ ，半径为2的圆的标准方程为.

查看试题解析
3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的焦距为.

查看试题解析
4. 已知复数 $z_{1} = 6 + 2 i ， z_{2} = 1 + a i$ ( $i$ 为虚数单位)，且 $z_{1} + \bar{z_{2}}$ 是实数，则实数 $a$ 的值为．

查看试题解析
5. 方程 $\frac{x^{2}}{m - 3} + \frac{y^{2}}{m - 4} = 1$ 表示的曲线是椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是．

查看试题解析
6. 已知复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ ，则 $| z - 1 + \sqrt{3} i |$ ( $i$ 为虚数单位)的最小值为．

查看试题解析
7. 与双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有共同的渐近线，且过点 $(- 1 ， 4)$ 的双曲线方程是．

查看试题解析
8. 以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点 $(1 ， 2)$ 的抛物线的方程是．

查看试题解析
9. 若 $△ A B C$ 的两个顶点 $B (0 ， - 3)$ ， $C (0 ， 3)$ ，周长为16，则第三个顶点 $A$ 的轨迹方程是．

查看试题解析
10. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点作直线交抛物线于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，若 $x_{1} + x_{2} = 12$ ，则 $| A B |$ 等于．

查看试题解析
11. 若直线 $y = 2 x + b$ 与曲线 $y = - \sqrt{9 - x^{2}}$ 没有公共点，则实数 $b$ 的取值范围是．

查看试题解析
12. 关于曲线 $C ： \frac{4}{x^{2}} + \frac{4}{y^{2}} = 1$ ，则以下结论正确的序号是．
①曲线 $C$ 关于原点对称；
②曲线 $C$ 中 $x \in [- 2 ， 2] ， y \in [- 2 ， 2]$ ；
③曲线 $C$ 不是封闭图形，且它与圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 无公共点；
④曲线 $C$ 与曲线 $D ： | x | + | y | = 4$ 有4个交点，这4点构成正方形．

查看试题解析

二、单选题

13. 设复数 $z = a + b i$ （ $a 、 b \in R$ ），则“ $a = 0$ ”是“ $z$ 为纯虚数”的（）

A、既不充分也不必要条件 B、充要条件 C、充分非必要条件 D、必要非充分条件

查看试题解析
14. 设 $M = i + i^{2} + i^{3} + i^{4} ， N = i \cdot i^{2} \cdot i^{3} \cdot i^{4}$ ， $i$ 为虚数单位，则 $M$ 与 $N$ 的关系是（）

A、 $M + N = 0$ B、 $M < N$ C、 $M > N$ D、 $M = N$

查看试题解析
15. 双曲线 $4 x^{2} + k y^{2} = 4 k$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则实数 $k$ 的值是（）

A、16 B、 $\frac{1}{16}$ C、-16 D、 $- \frac{1}{16}$

查看试题解析
16. 记点 $P$ 到图形 $C$ 上每一个点的距离的最小值称为点 $P$ 到图形 $C$ 的距离，那么平面内到定圆 $C$ 的距离与到定点 $A$ 的距离相等的点的轨迹不可能是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线的一支 D、直线

查看试题解析

三、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} - m - 6) + (m^{2} - 3 m - 10) i$ ( $i$ 为虚数单位)，当 $m$ 为何值时，复数 $z$ 为：

(1)、实数；

(2)、纯虚数．

查看试题解析
18. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} - 2 x + y^{2} - 3 = 0$

(1)、求过点 $(3 ， 2)$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程；

(2)、若直线 $y = x + 1$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ ，求弦长 $| A B |$ 的值．

查看试题解析
19. 已知复数 $z$ 满足 $| z | + \bar{z} - 8 - 4 i = 0$ （ $i$ 为虚数单位），

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若 $m \in R ， ω = z i + m$ ，求 $| ω |$ 的取值范围．

查看试题解析
20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $C (- 2 ， 0)$ ， $D (2 ， 0)$ ，曲线 $E$ 上的动点 $P$ 满足 $| P C | + | P D | =$ $4 \sqrt{2}$ ，直线 $l$ 过 $D$ 交曲线 $E$ 于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、当 $A C ⊥ A D$ 时， $A$ 在 $x$ 轴上方时，求 $A$ 、 $B$ 的坐标；

(3)、设 $M (- 2 \sqrt{2} ， 2) ， N (2 \sqrt{2} ， 2)$ ， $P$ 是曲线 $E$ 上的任意一点，若 $\vec{O P} = m \vec{O M} + n \vec{O N}$ ，求证：动点 $Q (m ， n)$ 在定圆上运动．

查看试题解析
21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，原点为 $O$ ，抛物线 $C$ 的方程为 $x^{2} = 4 y$ ，线段 $A B$ 是抛物线 $C$ 的一条动弦．

(1)、求抛物线 $C$ 的准线方程；

(2)、求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ，求证：直线 $A B$ 恒过定点；

(3)、过抛物线的焦点 $F$ 作互相垂直的两条直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与抛物线交于 $P$ 、 $Q$ 两点， $l_{2}$ 与抛物线交于 $C$ 、 $D$ 两点， $M$ 、 $N$ 分别是线段 $P Q$ 、 $C D$ 的中点，求 $△ F M N$ 面积的最小值．

查看试题解析