上海市奉贤区四校2020-2021学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-08 类型：期中考试

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一、填空题

1. 表面积为4π的球的体积为.

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2. 已知平行直线 $2 x - 7 y + 8 = 0$ 和 $2 x - 7 y - 6 = 0$ 之间的距离是.

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3. 抛物线 $x^{2} = y$ 上一点 $M$ 到焦点的距离为 $1$ ，则点 $M$ 的横坐标为．

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4. 如图，已知长方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长 $A A^{'} = 3 c m$ ， $A B = 4 c m$ ， $A D = 4 c m$ ，则点 $A$ 到棱 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的距离是 $c m$ .

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5. 如图，正方体ABCD-A'B'C'D'，则二面角B-A'C'-B'的大小是.

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6. 设一个圆锥的侧面积是S，点O₁为圆锥的高上靠近顶点的一个三等分点，过点O₁作与底面平行的截面，则截得的圆锥的侧面积是.

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7. 若双曲线经过点 $P (4 ， 3)$ ，它的一条渐近线方程为 $y = \frac{1}{2} x$ ，则双曲线的标准方程为.

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8. 焦点在坐标轴上，焦距为 $2 \sqrt{6}$ ，短轴长为4的椭圆的标准方程为.

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9. 在平面直角坐标系中，过点 $M (2 ， 2)$ 且与圆 $x^{2} + y {}^{2}- 2 x = 0$ 相切的直线方程为.

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10. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ， O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若 $Δ O M N$ 为直角三角形，则 $| M N | =$ .

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二、单选题

12. 参数方程 ${\begin{array}{l} x = 3 t^{2} + 2 \\ y = t^{2} - 1 \end{array} (0 \leq t \leq 5)$ 表示的曲线是（）

A、线段 B、双曲线 C、圆弧 D、射线

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13. 已知平面 $α$ 和平面 $β$ 不重合，直线m和n不重合，则 $α / / β$ 的一个充分条件是（）.

A、 $m \subset α ， n \subset β$ 且 $m / / n$ B、 $m \subset α ， n \subset β$ 且 $m / / β ， n / / α$ C、 $m / / α ， n / / β$ 且 $m / / n$ D、 $m ⊥ α ， n ⊥ β$ 且 $m / / n$

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14. 对于常数m、n，“mn>0”是“方程 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 的曲线是椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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15. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为 $B D_{1} ， B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在正方体的表面上运动，且满足 $M P ⊥ C N$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 可以是棱 $B B_{1}$ 的中点 B、线段 $M P$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、点 $P$ 的轨迹是正方形 D、点 $P$ 轨迹的长度为 $2 + \sqrt{5}$

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三、解答题

16. 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10 $c m$ .

(1)、制作该容器需要多少面积的铁皮(衔接部分忽略不计，结果精确到0.1 $c m^{2}$ ).

(2)、该容器的容积是多少(衔接部分忽略不计，结果精确到0.1 $c m^{3}$ ).

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17. 设抛物线y²=2px的焦点F的坐标为(1，0)，过焦点F作一条倾斜角为 $θ$ 的直线与抛物线相交A､B于两点，线段AB的中点为M.倾斜角 $θ$ 是变化的.

(1)、设△MOF的面积为S_△MOF；△AOB的面积为S_△AOB，设S_△MOF= $λ$ S_△AOB，求 $λ$ 的取值范围；

(2)、求中点M的轨迹方程.

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A' B' C' D'$ 中，E是BC的中点，

(1)、过 $D^{'} ､ B^{'} ､ E$ 三点作正方体的截面 $α$ ；

(2)、半平面 $B^{'} B E$ 与平面 $α$ 所成的二面角的大小；

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19. 如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，，把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角A―BD―C的余弦值等于．对于图2，完成以下各小题：

(1)、求A，C两点间的距离；

(2)、证明：AC $⊥$ 平面BCD；

(3)、求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)经过A(0，2)､B(-3，-1)两点.

(1)、求直线AB和椭圆的方程；

(2)、求椭圆上的动点T到N(1，0)的最短距离；

(3)、直线AB与x轴交于点M(m，0)，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线 $l$ 与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线x=m于P，Q两点.求证： $\frac{| P M |}{| M Q |}$ 为定值.

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