陕西省咸阳市武功县2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = 3 - i$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知 $z_{1} = 5 + 3 i$ ， $z_{2} = 5 + 4 i$ ，下列各式中正确的是（）

A、z₁>z₂ B、z₁<z₂ C、|z₁|>|z₂| D、|z₁|<|z₂|

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3. 归纳推理与类比推理的相似之处为（）

A、都是从一般到一般 B、都是从一般到特殊 C、都是从特殊到特殊 D、都不一定正确

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4. 计算 $\frac{1 - i}{1 + i}$ 的结果是（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、2 D、-2

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5. 用反证法证明：“a＞b”，应假设为（）

A、a＞b B、a＜b C、a=b D、a≤b

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6. 下列各命题中，不正确的是（）

A、若 $f (x)$ 是连续的奇函数，则 $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$ B、若 $f (x)$ 是连续的偶函数，则 $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$ C、若 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上连续且恒为正，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x > 0$ D、若 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上连续且 $\int_{a}^{b} f (x) d x > 0$ ，则 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上恒为正.

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7. 若曲线 $y = x^{3} - 2 a x^{2} + 2 a x$ 上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数 $a$ 等于（）

A、0 B、1 C、-2 D、-1

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8. 函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的极值情况是（）．

A、有极大值-2，极小值2 B、有极大值1，极小值-1 C、无极大值，但有极小值-2 D、有极大值2，无极小值

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9. 函数 $f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + 4 x - 8$ ，已知 $f (x)$ 在 $x = - 2$ 时取得极值，则a的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 下面几种推理是合情推理的是（）
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 $180 °$ 归纳出所有三角形的内角和都是 $180 °$ ；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是 $180 °$ ，四边形内角和是 $360 °$ ，五边形内角和是 $540 °$ ，由此得凸多边形内角和是 $(n - 2) \cdot 180 °$

A、①② B、①②④ C、①③④ D、②④

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11. 已知 $c > 1 ， a = \sqrt{c + 1} - \sqrt{c} ， b = \sqrt{c} - \sqrt{c - 1}$ ，则正确的结论是（）

A、 $a > b$ B、 $a < b$ C、 $a = b$ D、 $a ， b$ 大小不确定

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12. 函数 $f (x)$ 的定义域为开区间 $(a ， b)$ ，导函数 $f^{^{'}} (x)$ 在 $(a ， b)$ 内的图像如图所示，则函数 $f (x)$ 在开区间 $(a ， b)$ 内的极大值点有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 试求 $i^{1} 、 i^{2} 、 i^{3} 、 i^{4} 、 i^{5} 、 i^{6} 、 i^{7} 、 i^{8}$ 的值，由此推测 $i^{4 n} =$ ， $i^{4 n + 1} =$ ， $i^{4 n + 2} =$ ， $i^{4 n + 3} =$ ， $i^{1} i^{2} i^{3} i^{4} ⋯ i^{2000} =$ ．

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14. 复数（ $\frac{1 + i}{1 - i}$ ）²= ．

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15. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1 ， 5]$ ，部分对应值如下表， $f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示. 下列关于 $f (x)$ 的命题：
①函数 $f (x)$ 的极大值点为0，4；②函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上是减函数；③如果当 $x \in [- 1 ， t]$ 时， $f (x)$ 的最大值是2，那么 $t$ 的最大值为4；
④当 $1 < a < 2$ 时，函数 $y = f (x) - a$ 有4个零点；⑤函数 $y = f (x) - a$ 的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．

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16. 已知 $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}} ， \sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}} ， \sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}} \dots$ ，若 $\sqrt{6 + \frac{a}{b}} = 6 \sqrt{\frac{a}{b}} (a$ ， $b$ 均为实数)，请推测 $a =$ ， $b =$ .

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三、解答题

17. 若复数 $z = (m^{2} + m - 1) + (4 m^{2} - 8 m + 3) i (m \in R)$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点在第一象限；求实数m的集合．

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18. 求下列函数的导数．

(1)、 $y = 3 x^{2} + x c o s x$ ；

(2)、 $y = \sqrt{x} - s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} + e^{- x}$ ；

(3)、 $y = \frac{x^{2} - 2 x + 5}{x^{3}}$

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19. 设 $y = f (x)$ 是二次函数，方程 $f (x) = 0$ 有两个相等的实根，且 $f^{'} (x) = 2 x + 2$

(1)、求 $y = f (x)$ 的表达式；

(2)、求 $y = f (x)$ 的图像与两坐标轴所围成图形的面积

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + a x + d$ 的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为 $6 x - y + 7 = 0$ ，求函数 $y = f (x)$ 的解析式.

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21. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， S_{n}$ 表示前n项和，且 $S_{n} 、 S_{n + 1} 、 2 S_{1}$ 成等差数列．

(1)、计算 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3}$ 的值；

(2)、根据以上计算结果猜测 $S_{n}$ 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

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22. 已知 $a$ 为实数， $f (x) = (x^{2} - 4) (x - a)$
（Ⅰ）求导数 $f^{’} (x)$ ；
（Ⅱ）若 $f^{’} (- 1) = 0$ ，求 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 2]$ 和 $[2 ， + \infty)$ 上都是递增的，求 $a$ 的取值范围.

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