陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列说法中错误的是（）

A、归纳推理和类比推理是“合乎情理”的推理，统称为合情推理 B、合情推理得出的结论，因为合情，所以一定正确 C、综合法是由因导果的思维方法 D、分析法是执果索因的思维方法

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2. 如图给出了3层的六边形，图中所有点的个数 $S_{3}$ 为28，按其规律再画下去，可以得到 $n$ 层六边形，则 $S_{n}$ 可以表示为（）

A、 $S_{n} = 4 n + 1$ B、 $S_{n} = 4 n + 2$ C、 $S_{n} = 2 n^{2} + 3 n$ D、 $S_{n} = 2 n^{2} + 3 n + 1$

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3. 利用反证法证明“已知 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} > 100$ ，求证： $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5}$ 中，至少有一个数大于20.”时，首先要假设结论不对，即就是要假设（）

A、 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5}$ 均不大于20 B、 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5}$ 都大于20 C、 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5}$ 不都大于20 D、 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5}$ 至多有一个小于20

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4. 复数 $\frac{1 + 2 i}{2 - 3 i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有导函数， $f (x)$ 图象如图所示，则下列不等式正确的是（）

A、 $f^{'} (a) < f^{'} (b) < f^{'} (c)$ B、 $f^{'} (b) < f^{'} (c) < f^{'} (a)$ C、 $f^{'} (a) < f^{'} (c) < f^{'} (b)$ D、 $f^{'} (c) < f^{'} (a) < f^{'} (b)$

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6. 已知曲线 $y = f (x)$ 上点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程为 $4 x - y - 4 = 0$ ，则 $f^{'} (1)$ 的值为（）

A、6 B、-6 C、4 D、-4

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7. 函数 $y = s i n x$ $(x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}])$ 的图像与 $x$ 轴围成的图形的面积与该函数在此区间上的积分分别为（）

A、2，0 B、2， $-$ 2 C、4，0 D、4， $-$ 4

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8. 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 3 + ⋯ + 4 n = 8 n^{2} + 2 n (n \in N^{*})$ ，则当 $n = k + 1$ 时，左端应在 $n = k$ 的基础上加上（）

A、 $4 k + 1$ B、 $8 (k + 1)^{2} + 2 (k + 1)$ C、 $4 (k + 1)$ D、 $(4 k + 1) + (4 k + 2) + (4 k + 3) + (4 k + 4)$

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9. 以下求导运算错误的是（）

A、 $y = \sqrt{3 x + 1}$ ，则 $y^{'} = \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ B、 $y = （ 2 x - 1)^{3}$ ，则 $y^{'} = 3 （ 2 x - 1)^{2}$ C、 $y = x^{2} (l n x + s i n x)$ ，则 $y^{'} = x + 2 x l n x + 2 x s i n x + x^{2} c o s x$ D、 $y = \frac{c o s x - x}{x^{2}}$ ，则 $y^{'} = - \frac{x s i n x + 2 c o s x - x}{x^{3}}$

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10. 直线 $y = a$ 与函数 $y = 3 x - x^{3}$ 的图象有三个交点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $[- 1 ， 1]$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $[- 2 ， 2]$

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11. 曲线 $y = \sqrt{x}$ ，直线 $x = 1$ 以及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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12. 下列函数只有极大值点的是（）

A、 $y = 2 x^{3} - 3 x^{2}$ B、 $y = x - l n x$ C、 $y = x + s i n x$ D、 $y = s i n x + c o s x$ $(x \in [0 ， π])$

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二、填空题

13. 曲线 $f (x) = x^{2}$ 的一条切线与直线 $y = 2 x - 3$ 平行，则该切线的方程为.

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14. 若函数 $f (x) = k x - l n x$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 单调递增，则 $k$ 的取值范围是.

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15. $\frac{3 - 5 i}{1 - 2 i}$ 的实部为，虚部为.

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三、解答题

16. 把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为.

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17. 求下列函数的导函数：

(1)、 $y = e^{x} c o s x - t^{2}$ （ $t$ 为常数）；

(2)、 $y = l n (4 x + 5)^{3} + \frac{l n x}{x}$ .

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18. 按要求证明下列命题：

(1)、（用分析法证明）已知： $a ， b$ 是不相等的正数，求证： $a^{3} + b^{3} > a^{2} b + a b^{2}$ ；

(2)、（用数学归纳法证明） $- 1 + 3 - 5 + ⋯ + (- 1)^{n} (2 n - 1) = (- 1)^{n} n$ （ $n \in N^{*}$ ）.

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19. 如图

(1)、求定积分 $\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$ ；

(2)、求图中所示阴影部分的面积.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} (a x + b) - x^{2} - 4 x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处切线方程为 $y = 4 x + 4$ ．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性，并求 $f (x)$ 的极大值．

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