山西省运城市2020-2021学年高二下学期理数期中试卷

试卷更新日期：2022-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $i z = 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 用反证法证明命题“已知 $a ， b \in R$ ．如果 $a b \neq 0$ ，那么a，b都不为0”时，假设的内容应为（）

A、a，b都为0 B、a，b不都为0 C、a，b中至少有一个为0 D、a不为0

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3. 函数 $f (x) = e^{x} s i n x$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、0 C、 $\frac{3 π}{4}$ D、1

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4. 已知函数 $f (x) = s i n (3 x - \frac{π}{6})$ ，则 $f^{^{'}} (\frac{π}{6}) =$ （）

A、3 B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、0

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5. 已知函数 $f (x) = a x + l n x + 3$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上不单调，则实数a的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{2}{3})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- 1 ， - \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{2}{3} ， - \frac{1}{2})$

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6. 函数 $f (x) = 12 \sqrt{x} - 2 x^{3} - 3$ 在 $[0 ， 2]$ 上的最大值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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7. 若定义在R上的函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示， $f^{^{'}} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $(x - 1) f^{'} (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 1) ∪ (3 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， - 1) ∪ (3 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (3 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ，则下列正确的是（）

A、 $f (e) > f (6) > f (4)$ B、 $f (6) > f (4) > f (e)$ C、 $f (e) > f (4) > f (6)$ D、 $f (4) > f (e) > f (6)$

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9. 已知 $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}} ， \sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}} ， \sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}} ， \cdot \cdot \cdot$ ，类比这些等式，若 $\sqrt{8 + \frac{a}{b}} = 8 \sqrt{\frac{a}{b}}$ （a，b均为正整数），则 $a + b =$ （）

A、72 B、71 C、55 D、42

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10. 已知Р是曲线 $y = - c o s x (x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}])$ 上的动点，点Q在直线 $x - 2 y - 4 = 0$ 上运动，则当 $| P Q |$ 取最小值时，点P的坐标为（）

A、 $(\frac{2 π}{3} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{π}{3} ， - \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{5 π}{6} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{π}{6} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 a l n x - x^{2} + 4 x (a \in R)$ 在定义域上为单调递减函数，则a的最大值是（）

A、2 B、1 C、-2 D、-1

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} ， x > 2 ， \\ l n (x + a) ， x \leq 2 \end{array}$ 的图象上存在关于直线 $x = 2$ 对称的不同两点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(e ， + \infty)$ B、 $(e^{\frac{5}{2}} - 2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2 e - 1)$ D、 $(- \infty ， e^{\frac{5}{2}})$

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二、填空题

13. 设 $z = \frac{1 + i}{1 - i} + 2 i$ ，则 $| z | =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + f^{'} (0) l n (x + 2)$ ，则 $f^{'} (0) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}} - 4 a$ 有三个零点，则实数a的取值范围是.

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16. 如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推，则该数表中，第n行第n个数是.

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三、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} + 2 m - 8) + (m^{2} - 2 m) i ， m \in R$ ，其中i为虚数单位.

(1)、若复数z是实数，求m的值；

(2)、若复数z是纯虚数，求m的值.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 a x + b$ 在 $x = - 2$ 处取得极值．

(1)、求实数a的值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， 4]$ 内有零点，求实数b的取值范围．

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19. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E，F分别是 $P D$ ， $P C$ 的中点，O是底面 $A B C D$ 对角线的交点．

(1)、证明：平面 $O E F / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、证明：平面 $O E F ⊥$ 平面 $P A D$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot (a + l n x - \frac{1}{x})$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = - e x$ 平行，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - x - 1$ .

(1)、当 $a \in R$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $g (x) = l n x - x - l n a$ ，且 $f (x) \geq g (x)$ 在 $x > 0$ 时恒成立，求实数a的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s θ ， \\ y = \sqrt{3} s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ c o s θ - \sqrt{3} ρ s i n θ = 1$ ．

(1)、曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、已知点 $A (1 ， 0)$ ，若l和C的交点为M，N，求 $| A M | \cdot | A N |$ ．

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x - 1 |$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为m，且正实数a，b，c满足 $4 a + b + c = 2 m$ ，证明： $\sqrt{2 a b} + \sqrt{2 a c} ⩽ \frac{1}{2}$ ．

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24.

(1)、已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中所有项的系数和为243，求展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数.

(2)、甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京，上海，广州三个地方实习，每人只能去一个城市，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有多少种?

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