2022年初中数学苏科版《中考二轮复习》专题一数与式、方程与不等式 1.2 二次根式

试卷更新日期：2022-04-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{8} - \sqrt{3} = \sqrt{8 - 3}$ B、 $\sqrt{4} + \sqrt{9} = \sqrt{4 + 9}$ C、 $\sqrt{9} \times \sqrt{16} = \sqrt{9 \times 16}$ D、 $\sqrt{75} - \sqrt{3} = 6 \sqrt{2}$

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2. 函数y＝ $\frac{1}{\sqrt{x - 3}} + {(x - 5)}^{- 2}$ 中自变量x的取值范围是（）

A、x≥3且x≠5 B、x＞3且x≠5 C、x＜3且x≠5 D、x≤3且x≠5

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3. 如果关于x的一元二次方程 $k x^{2} - \sqrt{2 k + 1} x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）

A、 $k < \frac{1}{2}$ B、 $k < \frac{1}{2}$ 且 $k \neq 0$ C、 $- \frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}$ 且 $k \neq 0$ D、 $- \frac{1}{2} \leq k < \frac{1}{2}$ 且 $k \neq 0$

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4. 已知：a＝ $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ，b＝ $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，则a与b的关系是（）

A、a－b＝0 B、a＋b＝0 C、ab＝1 D、a²＝b²

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5. 已知方程x²- $2 \sqrt{2}$ x+2m=0有两个实数根，则 $\sqrt{{(m - 1)}^{2}}$ 的化简结果是（）

A、m-1 B、m+1 C、1-m D、±（m-1）

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6. 若a+b=3，ab=1,则式子 $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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7. 已知m＝ $1 + \sqrt{2}$ ，n＝ $1 - \sqrt{2}$ ，则代数式 $\sqrt{m^{2} + n^{2} - 3 m n}$ 的值为（　　）

A、 $\pm$ 3 B、3 C、5 D、9

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8. 把代数式 $(a - 1) \sqrt{\frac{1}{1 - a}}$ 中的 $a - 1$ 移到根号内，那么这个代数式等于（）

A、 $- \sqrt{1 - a}$ B、 $\sqrt{a - 1}$ C、 $\sqrt{1 - a}$ D、 $- \sqrt{a - 1}$

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9. 对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= $\{\begin{matrix} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n) \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n) \end{matrix}$ ，计算（3※2）×（8※12）的结果为（　　）

A、2﹣4 $\sqrt{6}$ B、2 C、2 $\sqrt{5}$ D、20

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10. 对于 $\sqrt{11 - 6 \sqrt{2}}$ 这样的根式，我们可以利用“配方法”进行化简： $\sqrt{11 - 6 \sqrt{2}} = \sqrt{9 - 2 \sqrt{18} + 2}$ $= \sqrt{{(\sqrt{9} - \sqrt{2})}^{2}} = 3 - \sqrt{2}$ .运用同样的方法化简 $\sqrt{23 - 6 \sqrt{10 + 4 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}}$ 的结果是（）

A、 $3 - \sqrt{3}$ B、 $3 - \sqrt{2}$ C、 $5 - \sqrt{3}$ D、 $5 - \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 已知 $\sqrt{12}$ 与最简二次根式 $\sqrt{2 a - 1}$ 是同类二次根式，则a的值是.

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12. 计算 $\sqrt{{(3 - π)}^{2}}$ 的结果是.

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13. 计算 $\frac{\sqrt{18} - \sqrt{2}}{\sqrt{8}}$ 的结果是.

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14. 若x，y是实数，且 $y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{4 - x} + 3$ ，则 $\frac{1}{2} \sqrt{x y}$ 的值为 .

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15. 已知 $\sqrt{a - 3} + \sqrt{2 - b} = 0$ ，则 $\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}$ 的值为

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16. △ABC中a，b，c为三角形的三边，则 $\sqrt{{(a - b + c)}^{2}} - 2 | c - a - b | =$ .

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17. 若实数 $a$ 满足 $| 1 - a | + \sqrt{{(a - 2)}^{2}} = a$ ，则 $a =$ .

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18. 若关于x的代数式 $\sqrt{4 - x} + \sqrt{x - a + 2}$ 有意义，且满足条件的所有整数x的和为10，则 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

19. 计算

(1)、 $\sqrt{18} \times \sqrt{3} \div \sqrt{2}$

(2)、 $2 \sqrt{20} － \sqrt{5} + 5 \sqrt{\frac{1}{5}}$

(3)、 $(3 + \sqrt{2}) (3 － \sqrt{2}) － {(1 + \sqrt{2})}^{2}$

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20. 已知实数 $a$ 、 $b$ 互为相反数， $c$ 、 $d$ 互为倒数， $e$ 是 $\sqrt{18}$ 的整数部分， $f$ 是 $\sqrt{5}$ 的小数部分.求代数式 $\sqrt{a + b} - \sqrt[3]{c d} + e - f$ 的值.

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21. 如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数.试化简： $\sqrt{b^{2}} + | a - b | - \sqrt[3]{{(a + b)}^{3}} - | b - c |$ .

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22. 阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式运算时，形如 $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ 一样的式子，我们可以将其进一步化简： $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ＝ $\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}$ ＝ $\sqrt{3} + 1$ ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

(1)、请用上述的方法化简 $\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ ；

(2)、利用上面的解法，化简： $\frac{3}{1 + \sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{3}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ .

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23. 阅读材料：
基本不等式 $\sqrt{a b}$ ≤ $\frac{a + b}{2}$ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.

例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+ $\frac{1}{x}$ 有最小值，最小值是多少？

解：∵x＞0， $\frac{1}{x}$ ＞0∴ $\frac{x + \frac{1}{x}}{2}$ ≥ $\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ，即 $x + \frac{1}{x}$ ≥2 $\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ，∴ $x + \frac{1}{x}$ ≥2

当且仅当x＝ $\frac{1}{x}$ ，即x＝1时，x+ $\frac{1}{x}$ 有最小值，最小值为2.

请根据阅读材料解答下列问题：

(1)、已知x＞0，则当x为时，代数式3x+ $\frac{3}{x}$ 的最小值为；

(2)、已知a＞0，b＞0，a²+b²=7，则ab的最大值为

(3)、已知矩形面积为9，求矩形周长的最小值.

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24. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.如a²±2ab+b²＝（a±b）² ，那么 $\sqrt{a^{2} \pm 2 a b + b^{2}} = | a \pm b |$ ，如何将双重二次根式 $\sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}}$ 化简.我们可以把 $5 \pm 2 \sqrt{6}$ 转化为 ${(\sqrt{3})}^{2} \pm 2 \sqrt{6} + {(\sqrt{2})}^{2} = {(\sqrt{3} \pm \sqrt{2})}^{2}$ 完全平方的形式，因此双重二次根式 $\sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}} = \sqrt{{(\sqrt{3} \pm \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$ 得以化简.

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若 $y^{'} = {\begin{array}{l} y (x \geq 0) \\ - y (x < 0) \end{array}$ 则称点Q为点P的“横负纵变点”.例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5).问题：

(1)、点 $(\sqrt{2} ， - \sqrt{3})$ 的“横负纵变点”为，点 $(- 3 \sqrt{3} ， - 2)$ 的“横负纵变点”为；

(2)、化简： $\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}}$ ；

(3)、已知a为常数（1≤a≤2），点M( $- \sqrt{2}$ ，m)是关于x的函数 $y = - {\frac{1}{x}}^{} (\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1}})$ 图像上的一点，点M’是点M的“横负纵变点”，求点M’的坐标.

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25. 甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃＝…＝A₇A₈＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：

（ $\sqrt{1}$ ）²＋1＝2，S₁＝ $\frac{\sqrt{1}}{2}$ ；（ $\sqrt{2}$ ）²＋1＝3，S₂＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；（ $\sqrt{3}$ ）²＋1＝4，S₃＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ；….

(1)、请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA₁₀的长；

(2)、求出 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + \dots + S_{10}^{2}$ 的值.

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26. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为a.直线y＝bx+c交x轴于E，交y轴于F，且a、b、c分别满足﹣（a﹣4）²≥0，c＝ $\sqrt{b - 2} + \sqrt{2 - b}$ +8.

(1)、求直线y＝bx+c的解析式并直接写出正方形OABC的对角线的交点D的坐标；

(2)、直线y＝bx+c沿x轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移，设平移的时间为t秒，问是否存在t的值，使直线EF平分正方形OABC的面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

(3)、点P为正方形OABC的对角线AC上的动点（端点A、C除外），PM⊥PO，交直线AB于M，求 $\frac{P C}{B M}$ 的值.

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27.
如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足 $\sqrt{a + 1} + {(a + b + 3)}^{2} = 0$ ，▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 经过C、D两点．

(1)、求k的值；

(2)、点P在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；

(3)、
以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时， $\frac{M N}{H T}$ 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

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28. （性质认识）
如图，在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上任取两点 $A$ 、 $B$ 向坐标轴作垂直，连接垂足 $C$ 、 $D$ 或 $E$ 、 $F$ ，则一定有如下结论： $A B // C D$ ， $A B // E F$ .

(1)、（数学理解）如图①，借助（性质认知）的结论，猜想 $A M$ $B N$ （填“>”、“=”或“<”）；

(2)、如图②，借助（性质认知）的结论，证明： $A M = B N$ ；

(3)、（问题解决）如图③，函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象与过原点的直线相交于 $B$ 、 $D$ 两点，点 $A$ 是第一象限内图象上的动点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），直线 $A B$ 分别交于 $y$ 轴、 $x$ 轴于点 $C$ 、 $E$ ，连接 $A D$ 分别交 $y$ 轴、 $x$ 轴于点 $M$ 、 $N$ .请证明： $A C = A M$ .

(4)、在第（3）问中，若 $A C = \sqrt{2} A B$ ，则 $\frac{A M}{A D} =$ .

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2022年初中数学苏科版《中考二轮复习》专题一 数与式、方程与不等式 1.2 二次根式

一、单选题

二、填空题

三、解答题

2022年初中数学苏科版《中考二轮复习》专题一数与式、方程与不等式 1.2 二次根式