2022年浙教版数学七下期中复习阶梯训练：平行线（优生集训）

试卷更新日期：2022-04-08 类型：复习试卷

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一、综合题

  • 1. 已知点C在射线OA上.

    (1)、如图①，CD // OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
    (2)、在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
    (3)、在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系.

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  • 2. 如图，直线 FG// 直线 HK ，一块三角板的顶点 A 在直线 HK 上，边 BC 、 AC 分别交直线 FG 于 D 、 E 两点. ∠BAC=60° ， ∠B=90° ， ∠C=30° .

    (1)、如图1， ∠BAH=40° ，则

    ① ∠FDB=   ▲  °；

    ②若 ∠CDE 与 ∠CAK 的角平分线交于点 I ，则 ∠I=   ▲  °.

    (2)、如图2，点 I 在 ∠EDC 的平分线上，连 AI ，且 ∠CAI：∠KAI=1：3 ，若 ∠I=35° ，求 ∠FDB 的度数.
    (3)、如图3，若 ∠CDI：∠GDI=1：n ， ∠CAI：∠KAI=1：n ，则 ∠I= °（用含 n 的式子表示）.

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  • 3. 光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用.例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理.

    (1)、提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数；
    (2)、自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b.平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝ α ，求 α .
    (3)、如图③，若 α ＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝ β （90°＜ β ＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出 β 的度数.（可用含x的代数式表示）.

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  • 4. （基础知识）
    (1)、古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales ， 公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于 180° ”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．

    已知：如图，在 △ABC 中，

    求证： ∠A+∠B+∠BCA=180° ．

    证明：延长线段 BC 至点 F ，并过点 C 作 CE//AB ．

    ∵ CE//AB （已作），

    ∴    ▲   =∠1 （两直线平行，内错角相等），

        ▲   =∠2 （两直线平行，同位角相等）．

    ∵    ▲   （平角的定义），

    ∴ ∠ACB+∠A+∠B=180° （等量代换）．

    (2)、（实践运用）如图1，线段 AD 、 BC 相交于点 O ，连结 AB 、 CD ，试证明： ∠A+∠B=∠C+∠D ．

    证明：

    (3)、（变化拓展）

    ①如图2， AP 、 CP 分别平分 ∠BAD 、 ∠BCD ，若 ∠ABC=36° ， ∠ADC=16° ，则 ∠P 的度数为 ° ；

    ②如图3，直线 AP 平分 ∠FAD ， CP 平分 ∠BCE ，若 ∠ABC=36° ， ∠ADC=16° ，则 ∠P 的度数为 ° ．

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  • 5. 如图1， ΔABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，且 DE//BC ，点 F 是边 BC 上一动点，过点 D 作 DH//AC 与线段 F 交于点 H .
    (1)、求证： ∠EDH=∠C

    (2)、若点 F 在边 BC 上运动，保证点 H 存在且不与点 F 重合.探究：当点 F 满足的怎样的位置条件， ∠DHF=∠BFH 成立?请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由.

    (3)、在（2）的条件下，若 ∠DHF=∠BFH 成立，直接写出 ∠BFH 与ZEDH之间的数量关系

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  • 6. 上学期我们利用三角板探究了两个角之间的关系，现在我们利用量角器来开展两角之间数量关系的探究活动.已知射线 AM∥BN ，连接AB，P是射线AM上的一个动点（不与点A重合）.

    (1)、如图1，当PB平分 ∠ABN 时，利用量角器探究发现 ∠ABP=∠APB ，请说明理由.
    (2)、如图2，BC，BD分别平分 ∠ABP 和 ∠PBN ，分别交射线AM于点C，D，利用量角器探究发现 ∠APB 与 ∠ADB 之间的数量关系保持不变，请写出它们的关系，并说明理由.
    (3)、在（2）的条件下，点P继续在射线AM上运动，当运动到使 ∠ACB=∠ABD 时，我们发现 ∠CBD 与 ∠A 之间存在某种数量关系，请你用含 ∠A 的式子表示 ∠CBD .

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  • 7. 已知 AB ∥ CD ，点 M 、 N 分别是 AB 、 CD 上的两点，点 G 在 AB 、 CD 之间，连接 MG 、 NG .
    (1)、如图①，若 GM⊥GN ，求 ∠AMG+∠CNG 的度数；

    (2)、如图②，若点 P 是 CD 下方一点， MG 平分 ∠BMP ， ND 平分 ∠GNP ，已知 ∠BMG=30° ，求 ∠MGN+∠MPN 的度数；

    (3)、如图③，若点 E 是 AB 上方一点，连接 、 EN ，且 GM 的延长线 MF 平分 ∠AME ， NE 平分 ∠CNG ， 2∠MEN+∠MGN=105∘ ，求 ∠AME 的度数.

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  • 8. 已知：任何一个三角形都满足三角形三内角和等于 180° ，我们把这个结论称之为三角形三内角和定理.如图1， AB//CD ，且 ∠BED+∠CDE=120° ，请根据题目条件，结合三角形三内角和定理，探究下列问题：

    (1)、如图2，在图1基础上作： ∠BEF=12∠DEF ， ∠CDE=3∠CDF ， EF 与 DF 交于点 F ，求 ∠EFD 的度数；
    (2)、如图3，在图1基础上作：过 B 作 BG⊥AB ，交 CD 于点 F ，且 ∠CDG=34∠CDE ，求 ∠G∠E 的值.

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  • 9. 已知：AB∥CD ．

    (1)、探究∠B、∠BED、∠D之间的数量关系，并说明理由；
    (2)、利用上述中的结论，

    ①如图2，已知AB∥CD ， 试探究∠E、∠G、∠B、∠F、∠D之间的数量关系，并说明理由；

    ②如图3，已知AB∥CD ， 请直接写出∠B、∠D、∠E1、∠E2……∠En、∠F1、∠F2…∠Fn+1之间的数量关系．

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  • 10. 直线 AB//CD ， E 是 AB 上一定点， P 是直线 CD 上一动点，点 Q 在直线 AB ， CD 之间，且 ∠QPD=70° ， ∠QEB=α ， ∠CPQ 的平分线交直线 AB 于点 M ．

    (1)、如图1，若 α=65° ，则 ∠EQP 的度数是°．
    (2)、如图2，若 PM//EQ ，求 ∠QEB 的度数；
    (3)、若 ∠MEQ 的角平分线交 PM 于点 N ，求 ∠ENP 的度数（用含 α 的式子表示）．

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  • 11. 如图1，已知直线CD∥EF ， 点A ， B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．

    (1)、若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝
    (2)、猜想∠DAP ， ∠FBP ， ∠APB之间有什么关系？并说明理由；
    (3)、利用（2）的结论解答：

    ①如图2，AP1 ， BP1分别平分∠DAP ， ∠FBP ， 请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由；

    ②如图3，AP2 ， BP2分别平分∠CAP ， ∠EBP ， 若∠APB＝β，求∠AP2B ． （用含β的代数式表示）

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  • 12. 已知 AB//CD ， P 是截线 MN 上的一点， MN 与 CD 、 AB 分别交于 E 、 F ．

    (1)、若 ∠EFB=50° ， ∠EDP=35° ，求 ∠MPD 的度数：
    (2)、如图1，当点 P 在线段 EF 上运动时， ∠CDP 与 ∠ABP 的平分线交于 Q ，问： ∠Q∠DPB 是否为定值？若是定值、请求出定值：若不是，说明其范围
    (3)、①如图2，当点 P 在线段 EF 的延长线上运动时， ∠CDP 与 ∠ABP 的平分线交于 Q ，则 ∠Q∠DPB 的值为  ▲  ．

    ②当点 P 在线段 EF 上运动时， ∠CDP 与 ∠ABP 的 n 等分线交于 Q ，其中 ∠CDQ=1n∠CDP ， ∠ABQ=1n∠ABP ，设 ∠DPB=α ，求 ∠Q 的度数（直接用含 n ， α 的代数式表示，不需说明理由）．

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  • 13. 在三角形ABC中，点D在线段AC上，ED // BC交AB于点E ， 点F在线段AB上（点F不与点A ， E ， B重合），连接DF ， 过点F作FG⊥FD交射线CB于点G ．

       

    (1)、如图1，点F在线段BE上，用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并证明；
    (2)、如图2，点F在线段BE上，求证：∠ABC+∠BFG－∠EDF=90°；
    (3)、当点F在线段AE上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．

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  • 14. 如图

    (1)、问题情境：如图1，AB//CD ， ∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．

    小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB ， 通过平行线性质，可得∠APC＝ ．

    (2)、问题迁移：如图3，AD//BC ， 点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α ， ∠BCP＝∠β ．

    当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．

    (3)、如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．

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  • 15. 如图

    (1)、如图1，已知点A是BC上方的一点，连接AB，AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．

    阅读并补充下面的求解过程，

    解：过点A画ED∥BC．

    根据“”，可以得到∠B＝ ， ∠C＝∠DAC．

    而∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．

    (2)、如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C画CF∥AB）．
    (3)、如图3，AB∥EF，BC⊥DC于点C，设∠B＝x，∠D＝y，∠E＝z，请用一个含x，y，z的等式表示∠B，∠D，∠E三者之间的数量关系．（直接写出结果）

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  • 16. 如图，直线PQ∥MN ．

    (1)、若把一块三角尺（ ∠A＝30° ， ∠C＝90° ）按如图甲方式放置，点D ， E ， F是三角尺的边与平行线的交点，若 ∠AEN＝∠A ，则 ∠BDF ＝度；
    (2)、若点C是PQ、MN之间（不在直线PQ ， MN上）的一个点，且∠1与∠2都是锐角，如图乙，写出∠DCE与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；
    (3)、将图甲中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG ， 且有∠CEG＝∠CEM ， 求 ∠GEN∠BDF 的值．

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  • 17. 我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A光射线自AM顺时针旋转至AN便立即逆时针旋转至AM，如此循环.灯B光射线自BP顺时针旋转至BQ便立即逆时针旋转至BP，如此循环.两灯交叉照射且不间断巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a，b满足(a﹣4b)2+(a+b﹣5)2＝0．若这一带江水两岸河堤相互平行，即PQ∥MN，且∠BAN＝60°．根据相关信息，解答下列问题.

    (1)、a= ， b=.
    (2)、若灯B的光射线先转动24秒，灯A的光射线才开始转动，在灯B的光射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的光射线互相平行？
    (3)、如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯A的光射线到达AN之前，若两灯射出的光射线交于点C，过点C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动的过程中，∠BAC与∠BCD间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．

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  • 18. 已知直线AD∥EC，直线DE分别与AD，EC交于D，E两点，点B是直线DE上的一个动点，试探究∠ABC与∠1，∠2之间的数量关系.

    (1)、如图①，当点B在线段DE上运动（点B不与D，E重合）时，若∠1＝25°，∠2＝15°，则∠ABC＝°；猜想：此时数量关系是：∠ABC＝ ， 请说明理由；
    (2)、如图②，当点B在点D的上方运动（A，B，C三点不在同一直线上）时，猜想：此时数量关系是：∠ABC＝         ， 请说明理由；
    (3)、如图③，当点B在点E的下方运动（A，B，C三点不在同一直线上）时，猜想：此时数量关系是：∠ABC＝.

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  • 19. 如图，已知AM//BN， ∠A=60° ，点 P 是射线 AM 上一动点（与点 A 不重合）， BC 、 BD 分别平分 ∠ABP 和 ∠PBN ，分别交射线 AM 于 C 、 D .

    (1)、求 ∠CBD 的度数；
    (2)、在点P的运动过程中，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律.
    (3)、当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数是 ， 并说明理由.

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  • 20. 探究题

    已知：如图1，AB∥CD，CD∥EF．求证：∠B＋∠BDF＋∠F＝360°．

    老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究

    (1)、小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ．
    (2)、接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB、EF，然后在平行线间画了一点 D ，连接BD，DF后，用鼠标拖动点 D ，分别得到了图2、图3、图4，小颖发现图3正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图2和图4中的 ∠B 、 ∠BDF 与 ∠F 之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量和计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．

    请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：

    ①猜想图2中∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明；

    ②补全图4，直接写出∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系：  ▲  ．

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  • 21. 如图，直线 CB//OA ， ∠C=∠OAB=100° ，E、F在 CB 上，且满足 ∠FOB=∠AOB ， OE 平分 ∠COF
    (1)、求 ∠EOB 的度数；

    (2)、若平行移动 AB ，那么 ∠OBC：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
    (3)、在平行移动 AB 的过程中，是否存在某种情况，使 ∠OEC=∠OBA ？若存在，求出 ∠OEC 度数；若不存在，说明理由．

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  • 22. 已知 AB//CD ．

    (1)、如图1， E 为 AB ， CD 之间一点，连接 BE ， DE ，得到 ∠BED ．求证： ∠BED=∠B+∠D ；
    (2)、如图，连接 AD ， BC ， BF 平分 ∠ABC ， DF 平分 ∠ADC ，且 BF ， DF 所在的直线交于点 F ．

    ①如图2，当点 B 在点 A 的左侧时，若 ∠ABC=50° ， ∠ADC=60° ，求 ∠BFD 的度数．

    ②如图3，当点 B 在点 A 的右侧时，设 ∠ABC=α ， ∠ADC=β ，请你求出 ∠BFD 的度数．（用含有 α ， β 的式子表示）

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  • 23. 同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：

    (1)、如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
    (2)、如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小；
    (3)、如图3，点P是线段AD上的动点（不与A，D重合），连接PF、PG， ∠DFP+∠FPG∠EGP 的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．

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  • 24. 如图，已知直线 l1//l2 ，直线l与直线 l1 、 l2 分别交于点C和点D，点P是直线l上一动点，点A在直线 l1 上，点B在直线 l2 上，且点A和点B位于直线l同一侧．

    (1)、如图（1），当P点在线段CD（不含端点C和D）上运动时，求证： ∠APB=∠PAC+∠PBD ．
    (2)、如图（2），当点P运动到直线 l1 上方时，试写出 ∠PAC 、 ∠APB 和 ∠PBD 三个角的数量关系，并证明．
    (3)、如图（3）当点P运动到直线 l2 下方时，直接写出 ∠PAC 、 ∠APB 和 ∠PBD 三个角的数量关系．

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  • 25. 如图，已知 AB//CD ， CN 是 ∠BCE 的平分线．

    (1)、若 CM 平分 ∠BCD ，求 ∠MCN 的度数；
    (2)、若 CM 在 ∠BCD 的内部，且 CM⊥CN 于 C ，求证： CM 平分 ∠BCD ；
    (3)、在（2）的条件下，过点 B 作 BP⊥BQ ，分别交 CM 、 CN 于点 P 、 Q ， ∠PBQ 绕着 B 点旋转，但与 CM 、 CN 始终有交点，问： ∠BPC+∠BQC 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．

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