黑龙江省嫩江市多校2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2022-04-07 类型：月考试卷

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一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 已知 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ ，则圆心坐标和半径分别是（）

A、 $(- 3 ， 1)$ ，2 B、 $(- 3 ， 1)$ ，4 C、 $(3 ， - 1)$ ，2 D、 $(3 ， - 1)$ ，4

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 8 ， a_{3} = 2$ ，则公差等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、-3

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3. 已知 $M (2 ， 1)$ 、 $N (- 1 ， 5)$ ，则 $| M N | =$ （）．

A、 $\sqrt{13}$ B、4 C、5 D、 $\sqrt{37}$

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4. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ ，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则 $| P F | + | P A |$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{5} = 4$ 则 $a_{3}$ 的值为（）

A、 $\pm 2 \sqrt{2}$ B、±2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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6. 如图，边长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，则 $\vec{D A}$ • $\vec{B D_{1}}$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ ( $n \geq 2$ )，则 $a_{2021} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、-1 D、2

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8. 设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点和点 $(0, b)$ 的直线为l．若C的一条渐近线与 $l$ 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - y^{2} = 1$

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二、多选题（每小题5分，共20分）

9. 对于直线 $l ： \sqrt{3} x + y + 3 = 0$ ，下列说法错误的是（）

A、直线l经过点 $(0 ， - 3)$ B、直线l的倾斜角为60° C、直线l与直线 $x + \frac{\sqrt{3}}{3} y + \sqrt{3} = 0$ 平行 D、直线l在x轴上的截距为 $- \sqrt{3}$

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10. 已知曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m > n > 0$ ，则 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆 B、若 $m = n$ （ $n > 0$ ），则 $C$ 是圆 C、若 $m = - 2 ， n = 6$ ，则 $C$ 是双曲线，其渐近线方程为 $3 x \pm y = 0$ D、若 $m = - 2 n$ ，则 $C$ 是双曲线，其离心率为 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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11. 已知空间三点 $A (- 1 ， 0 ， 1)$ ， $B (- 1 ， 2 ， 2)$ ， $C (- 3 ， 0 ， 4)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\overset{\overset{}{\to}}{A B} \cdot \overset{\overset{}{\to}}{A C} = 3$ B、 $\overset{\overset{}{\to}}{A B} / / \overset{\overset{}{\to}}{A C}$ C、 $| \overset{\overset{}{\to}}{B C} | = 2 \sqrt{3}$ D、 $\cos < \overset{\overset{}{\to}}{A B} ， \overset{\overset{}{\to}}{A C} > = \frac{3}{65}$

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12. 中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗．禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还 $a$ 升、 $b$ 升、 $c$ 升粟，1斗为10升，则（）

A、 $a$ ， $b$ ， $c$ 依次成公比为2的等比数列 B、 $a$ ， $b$ ， $c$ 依次成公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列 C、 $a = \frac{50}{7}$ D、 $c = \frac{50}{7}$

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三、填空题（每小题5分，共20分）

13. 过点 $A (- 2 ， 1)$ ， $B (3 ， - 3)$ 的直线方程（一般式）为.

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14. 抛物线y²＝2px（p＞0）上点P(4，4)到焦点F的距离为．

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15. 椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆上有一点 $P$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则三角形 $F_{1} P F_{2}$ 的面积为．

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16. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{n} = 2 - 2 a_{n + 1}$ ，若 $a_{2} = \frac{1}{2}$ ，则 $S_{5}$ ＝．

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四、解答题：本题共4小题，共40分．

17. 已知圆 $C$ 是以点 $C (0 ， 2)$ 为圆心，且过点 $M (- 2 \sqrt{2} ， 3)$ 的圆.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $A$ 的坐标为 $(3 ， - 3)$ ，求过点 $A$ 的圆 $C$ 的切线方程。

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{7} = 13$ ， $S_{8} = 64$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 3^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 4$ ， $B C = C C_{1} = 3$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A C_{1}$ ， $A B$ 的中点．

(1)、求证： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、求直线 $B_{1} C$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值．

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20. 已知动点M到定点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ 和 $F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离之和为4

(1)、求动点 $M$ 轨迹 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： x - y - 1 = 0$ 交椭圆 $E$ 于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求 $△ A O B$ 的面积。

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