山西省百校联考（一）2022年中考模拟数学试题

试卷更新日期：2022-04-07 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 一5的绝对值是（）

A、5 B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、－5

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2. 下列运算结果正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 5 a^{2}$ B、 ${(- a b^{2})}^{3} = - a^{3} b^{6}$ C、 $a^{3} \cdot a^{3} = a^{9}$ D、 ${(a + 2 b)}^{2} = a^{2} + 4 b^{2}$

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3. 中国传统纹饰图案不但蕴含了丰富的文化，而且大多数图案还具有对称美．下列纹饰图案中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）

A、调查某批次医用口罩的合格率 B、了解某校八年级一班学生的视力情况 C、了解100张百元钞票中有没有假钞 D、调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量

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5. 通过严格实施低碳管理等措施，2022年北京冬奥会和冬残奥会全面实现了碳中和．根据测算，北京冬奥会三个赛区的场馆使用绿电4亿千瓦时，可以减少燃烧12.8万吨标准煤，减少排放二氧化碳32万吨，实现了“山林场馆、生态冬奥”的目标，其中的32万用科学记数法表示为（）

A、 $32 \times 1 0^{4}$ B、 $3.2 \times 1 0^{4}$ C、 $3.2 \times 1 0^{5}$ D、 $3.2 \times 1 0^{6}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ，点 $D$ 是 $A B$ 延长线上一点，过点 $D$ 作 $E F ∥ B C$ ．若 $∠ A D E = 70 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、20° B、30° C、40° D、50°

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7. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 2 \geq 1 \\ 2 x + 5 > 4 x - 1 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 时，配方后所得的方程为（）

A、 $（ x + 1 ）^{2} = 0$ B、 $（ x - 1 ）^{2} = 0$ C、 $（ x + 1 ）^{2} = 2$ D、 $（ x - 1 ）^{2} = 2$

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9. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 均在反比例函数 $y = \frac{k^{2} + 1}{x}$ 的图象上，且 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < 0$ B、 $y_{2} < y_{1} < 0$ C、 $y_{1} > y_{2} > 0$ D、 $y_{2} > y_{1} > 0$

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10. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若 $⊙ O$ 的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）

A、1 B、3 C、 $π$ D、 $2 π$

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二、填空题

11. 计算： $\frac{6}{a^{2} - 9} + \frac{1}{a + 3} =$ ．

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，连接 $B D$ ．若 $∠ A = 110 °$ ，则 $∠ C B D$ 的度数为°．

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13. 如图是4个外观完全相同的试剂瓶，分别装有稀硫酸溶液、稀盐酸溶液、氯化钠溶液、碳酸钠溶液．随机从这4瓶无标签试剂中抽取1瓶，抽到稀硫酸溶液的概率是．

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14. 如图，网格中小正方形的边长都是1，若以格点 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径作 $\overset{⌢}{A B}$ ，且点 $A$ ， $B$ 均在格点上，则扇形 $O A B$ 的面积为．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = B C = 4$ ，以 $A B$ 为边作等边三角形 $A B D$ ，使点 $D$ 与点 $C$ 在 $A B$ 同侧，连接 $C D$ ，则 $C D =$ ．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $2 \div 2^{- 1} + \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})$ ．

(2)、解二元一次方程组： ${\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 5 ， \\ x - 2 y = 4 . \end{array}$

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = ∠ B C D$ ，点 $E$ 在 $B D$ 的延长线上，点 $F$ 在 $D B$ 的延长线上，且 $D E = B F$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ．求证：

(1)、 $A D = C B$ ；

(2)、 $A E ∥ C F$ ．

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18. 2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”．教务处从中随机抽取了 $n$ 名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为 $x$ 分）分成四组，A组： $60 \leq x < 70$ ；B组： $70 \leq x < 80$ ；C组： $80 \leq x < 90$ ；D组： $90 \leq x \leq 100$ ，并得到如下不完整的频数分布表、频数直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A： $60 \leq x < 70$
$a$
B： $70 \leq x < 80$
18
C： $80 \leq x < 90$
24
D： $90 \leq x \leq 100$
$b$

(1)、 $n$ 的值为， $a$ 的值为， $b$ 的值为．

(2)、请补全频数直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 ▲ °．

(3)、若规定学生竞赛成绩 $x \geq 80$ 为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．

(4)、竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀 $(x \geq 80)$ 的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

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19. “网上买年货，安心过大年”.2022年1月9日“全晋乐购”网上年货节启动．公众可通过多个电商平台参与减免、直降、秒杀等促销活动，享受无接触配送等服务．某网店专售一款中国结，其成本为每个40元，当销售单价为80元时，每天可销售100个．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查发现该款中国结销售单价每降1元，每天可多销售5个．设该款中国结的销售单价为 $x$ 元（ $x$ 为正整数），每天的销售量为 $y$ 个．

(1)、请直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式．

(2)、当该网店每天销售利润为4500元时，求该款中国结的销售单价．

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20. 阅读下面材料，解答提出的问题．

德国著名数学家高斯 $(G a u s s)$ 在上小学时就已求出计算公式 $1 + 2 + 3 + ⋯ + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，其推导方法如下：

设 $s = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n$ ， ①

则 $s = n + (n - 1) + (n - 2) + ⋯ + 1$ ． ②

由①+②，得 $2 s = \underset{n 个 (n + 1)}{\underset{︸}{(n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ⋯ + (n + 1)}} = n (n + 1)$ ，

所以， $s = \frac{n (n + 1)}{2}$ ．

即 $1 + 2 + 3 + ⋯ + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ ．

(1)、请利用上述公式计算

1 + 2 + 3 + ⋯ + 50 =

．

(2)、类比上述方法并证明：

1 + 3 + 5 + ⋯ + (2 n - 1) = n^{2}

．

(3)、若

2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 n = 650

（其中

n

为正整数），直接写出n的值．

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21. 某校数学兴趣小组开展综合实践活动——测量校园内旗杆的高度．如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点 $A$ 处安置测倾器，测得旗杆顶部点 $M$ 的仰角 $∠ M B C = 33 °$ ，在与点 $A$ 相距4.5米的点 $D$ 处安置测倾器，测得点 $M$ 的仰角 $∠ M E C = 45 °$ （点 $A$ ， $D$ ， $N$ 在同一条水平线上，且点 $M$ ， $N$ ， $D$ ， $A$ ， $B$ ， $E$ ， $C$ 都在同一竖直平面内，点 $B$ ， $E$ ， $C$ 在同一直线上），求旗杆顶部离地面的高度 $M N$ ．（精确到0.1米，参考数据： $s i n 33 ° \approx 0.54$ ， $c o s 33 ° \approx 0.84$ ， $t a n 33 ° \approx 0.65$ ）

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22. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题．如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，分别以 $A B$ ， $C D$ 为边在正方形 $A B C D$ 内部作等边三角形 $A B E$ 与等边三角形 $C D F$ ，线段 $A E$ 与 $D F$ 交于点 $G$ ，线段 $B E$ 与 $C F$ 交于点 $H$ ．猜想 $G E$ 与 $G F$ 的数量关系，并加以证明．

(1)、数学思考：请解答老师出示的问题．

(2)、深入探究：试判断四边形 $E G F H$ 的形状，并加以证明．

(3)、问题拓展：将 $△ C D F$ 从图1的位置开始沿射线 $C D$ 的方向平移得到 $△ C^{'} D^{'} F^{'}$ ，连接 $A F^{'}$ ， $E C^{'}$ ．当四边形 $A F^{'} C^{'} E$ 是矩形时，得到图2．请直接写出平移的距离．

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23. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．连接 $A C$ ， $B C$ ．

(1)、求抛物线的表达式，并直接写出 $B C$ 所在直线的表达式．

(2)、点 $P$ 为第四象限内抛物线上一点，连接 $A P$ ， $B P$ ，求四边形 $A P B C$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

(3)、设点 $D$ 是 $B C$ 所在直线上一点，且点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使 $△ A C D$ 为等腰三角形？若存在，直接写出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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分组	频数
A： $60 \leq x < 70$	$a$
B： $70 \leq x < 80$	18
C： $80 \leq x < 90$	24
D： $90 \leq x \leq 100$	$b$