初中数学人教版八年级下学期备考期中考试压轴题

1. 已知 $\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}$ + $\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}$ +…+ $\frac{1}{n\sqrt{n+1}+\left(n+1\right)\sqrt{n}}$ ＝ $\frac{49}{50}$ ，求n的值.

2. 阅读理解

“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法： $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=7+4\sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3+5\sqrt{5}}-\sqrt{3-5\sqrt{5}}$

设 $x=\sqrt{3+5\sqrt{5}}-\sqrt{3-5\sqrt{5}}$ ，

易知 $\sqrt{3+5\sqrt{5}}>\sqrt{3-5\sqrt{5}}$

故 $x>0$ ，由 $x^2={(\sqrt{3+5\sqrt{5}}-\sqrt{3-5\sqrt{5}})}^2$

$=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}-2\sqrt{(3+5\sqrt{5})(3-5\sqrt{5})}$

$=2$

解得 $x=\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3+5\sqrt{5}}-\sqrt{3-5\sqrt{5}}=\sqrt{2}$ ．

根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt{6-3\sqrt{3}}-\sqrt{6+3\sqrt{3}}$

3. 已知 $△ABC$ 的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，化简 $\sqrt{{\left(a+b+c\right)}^2}+\sqrt{{\left(a-b-c\right)}^2}-\sqrt{{\left(c-a-b\right)}^2}$ .

4. 如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O为原点，以 OA，OC 所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点 $A(0，a)，C(c，0)$ 满足 $\sqrt{a-2c}+\left|c-4\right|=0$

5. 先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题：

设a、b是有理数，且满足 $a+\sqrt{2}b=3-2\sqrt{2}$ ，求 $b^a$ 的值？

解： 由题意得： $(a-3)+(b+2)\sqrt{2}=0$ ，

因为a、b都是有理数，

所以a-3、b+2也是有理数，

由于 $\sqrt{2}$ 是无理数，

所以a-3＝0、b+2＝0，

所以a＝3、b＝-2，

所以 $b^a={(-2)}^3=-8$ ，

问题： 设x、y都是有理数，且满足 $x^2-2y+\sqrt{5}y=8+4\sqrt{5}$ ，求x+y的值，

6. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，c的坐标分别为A(0，m)，B(-5，0)，C(n，0)，且(n-3)²+ $\sqrt{3\text{m}-12}$ =0．一动点P从点B出发，以每秒2单位长度的速度沿射线B0匀速运动，设点P运动的时间为ts．

7. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C恰好落在AB边的中点C'上，点D落在D'处，C'D'交AE于点M．若AB=6，BC=9，求线段ED．

8. 如图，在等边 $△AOB$ 中，点 $B$ （2，0），点 $O$ 是原点，点 $C$ 是 $y$ 轴正半轴上的动点，以 $OC$ 为边向左侧作等边 $△COD$ ，当 $AD=\frac{2\sqrt{21}}{3}$ 时，求 $AC$ 的长．

9. $Rt\Delta ABC$ 中， $\angle CAB={90}^{\circ }$ ， $AC=4$ ， $AB=8$ ， $M、N$ 分别是边 $AB$ 和 $CB$ 上的动点，在图中画出 $AN+MN$ 值最小时的图形，并直接写出 $AN+MN$ 的最小值为.

10. △ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a²+b²=c² ， 若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a²+b²与c²的关系，并证明你的结论.

11. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠B＝∠D．若AB＝3cm，BC＝5cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△ABP为等腰三角形？

12.

小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边△ABC，点D在BC上，以AD为边作等边△ADE，连接CE，求证：∠ACE=60°.

13. 一、阅读理解：

在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；

（1）若∠C为直角，则a²+b²=c²；

（2）若∠C为锐角，则a²+b²与c²的关系为：a²+b²＞c²；

（3）若∠C为钝角，试推导a²+b²与c²的关系．

二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．

14. 在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.

15. 如图，在矩形 $ABCD$ 中， $BC=8$ ， $\angle ABD=30°$ ，若点M、N分别是线段 $DB$ 、 $AB$ 上的两个动点，则求 $AM+MN$ 的最小值.

16. 如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．

（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；

（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E ， 连接PQ交AB于D ， 在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．

17. 如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．

18. 如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E.

19. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=12，∠A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

20.

定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.

21.

如图，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重合），直线CE绕C点顺时针旋转60°与直线AD相交于点F，连接EF．

（1）如图①，当点E在线段BD上时，∠CEF=          度；

（2）如图②，当点E在BD延长线上时，试判断∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系，并说明理由；

（3）如图③，若四边形ABCD为平行四边形，∠DBC=∠DCB=45°，E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重合），射线CE绕C点顺时针旋转45°与直线AD相交于点F，连接EF，探究∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系．（直接写出结果）

22.

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．

（1）求AO的长；

（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=$\sqrt{3}$AM；

（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．

23.

（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想．

（2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，

①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．

②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．

24.

四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．

（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；

（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；

（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．

25. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为$a\left(a>2\right)$的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积.小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；
（2）求正方形MNPQ的面积.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若$S_{△RPQ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， 则AD的长为__________.

26.

如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P是边BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，连结AP，作PF$\perp$AP交$\angle$DCE的平分线CF上一点F，连结AF交边CD于点G．

（1）求证：AP=PF；
（2）设点P到点B的距离为x，线段DG的长为y，试求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点P是线段BC延长线上一动点，那么（2）式中y与x的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．

27. 已知四边形ABCD中AD//BC ， AD：BC=1：2， S_△AOF：S_△DOE=1：3，S_△BEF=24 cm² ， 求S△AOF的面积。