初中数学人教版八年级下学期备考期中考试压轴题-在线组卷题库

1. 已知

\frac{1}{1 \sqrt{2} + 2 \sqrt{1}}

+

\frac{1}{2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}

+

\frac{1}{3 \sqrt{4} + 4 \sqrt{3}}

+…+

\frac{1}{n \sqrt{n + 1} + (n + 1) \sqrt{n}}

＝

\frac{49}{50}

，求n的值.

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2. 阅读理解

“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} - \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}}$

设 $x = \sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} - \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}}$ ，

易知 $\sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} > \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}}$

故 $x > 0$ ，由 $x^{2} = {(\sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} - \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}})}^{2}$

$= 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + 5 \sqrt{5}) (3 - 5 \sqrt{5})}$

$= 2$

解得 $x = \sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} - \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ ．

根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$

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3. 已知

△ A B C

的三边长为

a

，

b

，

c

，化简

\sqrt{{(a + b + c)}^{2}} + \sqrt{{(a - b - c)}^{2}} - \sqrt{{(c - a - b)}^{2}}

.

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4. 如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O为原点，以 OA，OC 所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点

A (0 ， a) ， C (c ， 0)

满足

\sqrt{a - 2 c} + | c - 4 | = 0

(1)、则

C

点的坐标为；

A

点的坐标为.

(2)、直角三角形

A O C

的面积为.

(3)、已知坐标轴上有两动点

P 、 Q

同时出发，

P

点从

C

点出发沿

x

轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，

Q

点从

O

点出发以2个单位长度每秒的速度沿

y

轴正方向移动，点

Q

到达

A

点整个运动随之结束．

A C

的中点

D

的坐标是

(2 ， 4)

，设运动时间为t（t＞0）秒，问：是否存在这样的t使

S_{△ O D P} = S_{△ O D Q}

？若存在，请求出

t

的值；若不存在，请说明理由.

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5. 先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题:

设a、b是有理数，且满足 $a + \sqrt{2} b = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，求 $b^{a}$ 的值？

解: 由题意得: $(a - 3) + (b + 2) \sqrt{2} = 0$ ，

因为a、b都是有理数，

所以a-3、b+2也是有理数，

由于 $\sqrt{2}$ 是无理数，

所以a-3＝0、b+2＝0，

所以a＝3、b＝-2，

所以 $b^{a} = {(- 2)}^{3} = - 8$ ，

问题: 设x、y都是有理数，且满足 $x^{2} - 2 y + \sqrt{5} y = 8 + 4 \sqrt{5}$ ，求x+y的值，

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6. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，c的坐标分别为A(0，m)，B(-5，0)，C(n，0)，且(n-3)²+

\sqrt{3 m - 12}

=0．一动点P从点B出发，以每秒2单位长度的速度沿射线B0匀速运动，设点P运动的时间为ts．

(1)、求A，C两点的坐标；

(2)、连接PA，若∆PAB为等腰三角形，求点P的坐标；

(3)、当点P在线段B0上运动时间t= ▲ s时，使△AOP≌△AOC?(请直接写出t的值，不需说明理由)

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7. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C恰好落在AB边的中点C'上，点D落在D'处，C'D'交AE于点M．若AB=6，BC=9，求线段ED．

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8. 如图，在等边

△ A O B

中，点

B

（2，0），点

O

是原点，点

C

是

y

轴正半轴上的动点，以

O C

为边向左侧作等边

△ C O D

，当

A D = \frac{2 \sqrt{21}}{3}

时，求

A C

的长．

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9.

R t Δ A B C

中，

∠ C A B = 90^{\circ}

，

A C = 4

，

A B = 8

，

M 、 N

分别是边

A B

和

C B

上的动点，在图中画出

A N + M N

值最小时的图形，并直接写出

A N + M N

的最小值为.

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10. △ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a²+b²=c² ，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a²+b²与c²的关系，并证明你的结论.

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11. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠B＝∠D．若AB＝3cm，BC＝5cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△ABP为等腰三角形？

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12.

小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边△ABC，点D在BC上，以AD为边作等边△ADE，连接CE，求证：∠ACE=60°.

(1)、请你解答小明的这道题；

(2)、在这个问题中，当D在BC上运动时，点E是否在一条线段上运动？

（直接答“是”或“不是”）

(3)、如图2，正方形ABCD的边长为2，E是直线BC上的一个动点，以DE为边作正方形DEFG（DEFG按逆时针排列）。当E在直线BC上运动时，点G是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；

(4)、连接AG、CG，①求证：AG²-CE²是定值； ②求AG+CG的最小值（直接写出答案即可）。

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13. 一、阅读理解：

在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；

（1）若∠C为直角，则a²+b²=c²；

（2）若∠C为锐角，则a²+b²与c²的关系为：a²+b²＞c²；

（3）若∠C为钝角，试推导a²+b²与c²的关系．

二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．

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14. 在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.

(1)、（探究发现）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，

∠ E A F = 45 °

，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为（直接写出结果）.

(2)、（验证猜想）同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）：

思路一：过点A作 $A G ⊥ A E$ ，交CD的延长线于点G.

思路二：过点A作 $A G ⊥ A E$ ，并截取 $A G = A E$ ，连接DG.

思路三：延长CD至点G，使 $D G = B E$ ，连接AG.

请选择你喜欢的一种思路证明（探究发现）中的结论.

(3)、（迁移应用）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且

B C = 3 B E

，

∠ E A F = 45 °

，设

B E = a

，试用含

a

的代数式表示DF的长.

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15. 如图，在矩形

A B C D

中，

B C = 8

，

∠ A B D = 30 °

，若点M、N分别是线段

D B

、

A B

上的两个动点，则求

A M + M N

的最小值.

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16. 如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．

（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；

（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E ，连接PQ交AB于D ，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．

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17. 如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．

(1)、AM与BD的关系是：．

(2)、如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．

(3)、在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，BC＝2，求

A B^{2} + D M^{2}

的值．

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18. 如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E.

(1)、求证：EO=FO；

(2)、当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；

(3)、若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。

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19. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=12，∠A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

(1)、AB的长是．

(2)、在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．

(3)、四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

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20.

定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.

(1)、如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，

①若AB=CD=1，AB//CD，求对角线BD的长.

②若AC⊥BD，求证：AD=CD.

(2)、如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.

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21.

如图，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重合），直线CE绕C点顺时针旋转60°与直线AD相交于点F，连接EF．

（1）如图①，当点E在线段BD上时，∠CEF= 度；

（2）如图②，当点E在BD延长线上时，试判断∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系，并说明理由；

（3）如图③，若四边形ABCD为平行四边形，∠DBC=∠DCB=45°，E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重合），射线CE绕C点顺时针旋转45°与直线AD相交于点F，连接EF，探究∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系．（直接写出结果）

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22.

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．

（1）求AO的长；

（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC= $\sqrt{3}$ AM；

（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．

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23.

（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想．

（2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，

①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．

②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．

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24.

四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．

（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；

（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；

（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．

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25.

阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为 $a (a > 2)$ 的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积.小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；
（2）求正方形MNPQ的面积.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若 $S_{△ R P Q} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则AD的长为__________.

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26.

如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P是边BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，连结AP，作PF $⊥$ AP交 $∠$ DCE的平分线CF上一点F，连结AF交边CD于点G．

（1）求证：AP=PF；
（2）设点P到点B的距离为x，线段DG的长为y，试求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点P是线段BC延长线上一动点，那么（2）式中y与x的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．

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27. 已知四边形ABCD中AD//BC ， AD：BC=1：2， S_△_AOF：S_△_DOE=1：3，S_△_BEF=24 cm² ，求S△AOF的面积。

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初中数学人教版八年级下学期备考期中考试压轴题

一、解答题