浙江省宁波市2022年中考数学模拟试卷

试卷更新日期：2022-04-06 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. $- \frac{3}{2}$ 的相反数是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 下列各式计算结果为 $a^{5}$ 的是（）

A、 $a^{3} + a^{2}$ B、 $a^{3} \times a^{2}$ C、 $(a^{2})^{3}$ D、 $a^{10} \div a^{2}$

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3. 宁波地铁7号线起于东钱湖云龙站，终于俞范路站，全长38.8公里，均为地下线，项目投资338.9亿元，建设工期5年.其中338.9亿元用科学记数法可表示为（）

A、 $33.89 \times 1 0^{9}$ 元 B、 $3.389 \times 1 0^{10}$ 元 C、 $0.3389 \times 1 0^{11}$ 元 D、 $3.389 \times 1 0^{9}$ 元

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4. 一个不透明的布袋里装有8个只有颜色不同的球，其中3个白球，1个红球，4个黄球 $.$ 从布袋里任意摸出1个球，是黄球的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{3}{8}$

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5. 如图所示的领奖台是由三个长方体组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了 $10$ 辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（）

A、 $220 ， 220$ B、 $210 ， 215$ C、 $210 ， 210$ D、 $220 ， 215$

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $C A$ ， $C B$ 的中点， $B F$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $D E$ 于点 $F$ ，若 $A C = 2 \sqrt{5} ， B C = 4$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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8. 《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的。如图1所示的算筹图，表示的方程组，就是 ${\begin{cases} 2 x + y = 11 \\ 4 x + 3 y = 27 \end{cases}$ ，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（）

A、 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = - 14 \\ x + 4 y = 23 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = - 9 \\ x + 4 y = 23 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 19 \\ x + 4 y = 23 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 19 \\ x + 4 y = 3 \end{cases}$

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9. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，菱形 $O A B C$ 的边 $O A$ 在 $x$ 轴上，函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象经过菱形的顶点 $C$ 和对角线的交点 $M$ ，若菱形 $O A B C$ 的面积为 $6$ ，则 $k$ 的值为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高，将得到的两个 $△ A C D$ 和 $△ B C D$ 按图 $①$ 、图 $②$ 、图 $③$ 三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，若 $S_{1} = S_{2}$ ，则 $S_{1}$ 与 $S_{3}$ 之间的关系是（）

A、 $S_{1} = 1.5 S_{3}$ B、 $S_{1} = 2 S_{3}$ C、 $S_{1} = 3 S_{3}$ D、 $S_{1} = 3.5 S_{3}$

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二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 若二次根式 $\sqrt{3 + x}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是 .

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12. 分解因式： $2 m^{2} - 18 =$ .

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13. 已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是.

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14. 如图，在平面直角坐标系中， $⊙ M$ 与 $x$ 轴相切于点 $A$ ，与 $y$ 轴分别交点为 $B$ ， $C$ ，圆心 $M$ 的坐标是 $(4 ， 5)$ ，则弦 $B C$ 的长度为.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P (x ， y)$ 和 $Q (x ， y')$ ，给出如下定义：如果 $y' = {\begin{array}{l} y - 1 (x ⩾ 0) \\ - y (x < 0) \end{array}$ ，那么称点 $Q$ 为点 $P$ 的“可控变点” $.$ 若点 $Q (m ， 2)$ 是反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 图象上点 $P$ 的“可控变点”，则点 $P$ 的坐标为.

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16. 如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，把 $R t △ A C B$ 沿斜边 $A B$ 折叠，得到 $△ A D B$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ D B$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，连结 $D F .$ 若 $\frac{A F}{F B} = \frac{4}{3} ， B C = 5$ ，则 $D F$ 的长为， $s i n ∠ F D E$ 的值为.

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三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17.

(1)、计算： $(x + y)^{2} - 2 (x + y) (x - y)$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 5 \leq 1 \\ 3 x + 2 (1 - 2 x) < 4^{} \end{array}$ .

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18. 如图是由边长为 $1$ 的小正方形构成的 $4 \times 4$ 的网格，线段 $A B$ 的端点均在格点上，请按要求画图 $($ 画出一个即可 $)$ .

(1)、在图 $①$ 中以 $A B$ 为边画一个四边形，使它的另外两个顶点在格点上，且该四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；

(2)、在图 $②$ 中以 $A B$ 为对角线画一个四边形，使它的另外两个顶点在格点上，且所画四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，交直线 $B C$ 于点 $E$ ，连结 $A C$ .

(1)、求抛物线的表达式及对称轴；

(2)、求 $△ E D B$ 的面积.

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20. 某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个班，共200名学生进行调查 $.$ 将调查得到的数据进行整理，绘制成统计图 $($ 不完整 $)$ .

(1)、求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；

(2)、求 $D$ 班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；

(3)、若该校共有学生4000人，试估计该校选择文明宣传的学生人数.

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21. 如图 $①$ ，一台灯放置在水平桌面上，底座 $A B$ 与桌面垂直，底座高 $A B = 5 c m$ ，连杆 $B C = C D = 20 c m$ ， $B C$ ， $C D$ 与 $A B$ 始终在同一平面内.
$($ 参考数据： $s i n 37 ° = 0.6$ ， $c o s 37 ° = 0.8$ ， $t a n 37 ° = 0.75)$

(1)、如图 $②$ ，转动连杆 $B C$ ， $C D$ ，使 $∠ B C D$ 成平角， $∠ A B C = 143 °$ ，求连杆端点 $D$ 离桌面1的高度 $D E$ .

(2)、将图 $②$ 中的连杆 $C D$ 再绕点 $C$ 逆时针旋转 $16 °$ ，如图 $③$ ，此时连杆端点 $D$ 离桌面1的高度减小了多少 $c m$ ？

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22. 甲、乙两地相距 $480 k m$ ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地 $($ 两车速度均保持不变 $) .$ 如图，折线 $A B C D$ 表示轿车离甲地的距离 $y ($ 千米 $)$ 与时间 $x ($ 小时 $)$ 之间的函数关系，线段 $O E$ 表示货车离甲地的距离 $y ($ 千米 $)$ 与时间 $x ($ 小时 $)$ 之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题：

(1)、求轿车的速度和 $a$ 的值；

(2)、求线段 $C D$ 对应的函数表达式；

(3)、轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车？

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23. 如图

(1)、【证明体验】
如图 $①$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，连接 $B D$ ， $C E$ .
求证： $B D = C E$ ；

(2)、【思考探究】
如图 $②$ ，在 $①$ 的条件下，若 $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $∠ A B D = 90 °$ ， $B D = D E$ ，求 $C E$ 的长；

(3)、【拓展延伸】
如图 $③$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 4$ ， $C D = 8$ ， $B D = 10$ ， $∠ B A C = 2 ∠ A D C$ ，求 $\frac{A B}{A D}$ 的值.

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24. 如图 $①$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 是 $A C$ 上一点 $($ 不与点 $A$ ， $C$ 重合 $)$ ，以 $A$ 为圆心， $A D$ 长为半径作 $⊙ A$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，连结 $B D$ 并延长交 $⊙ A$ 于点 $F$ ，连结 $E D$ ， $E F$ ， $A F$ .

(1)、求证： $∠ E A F = 2 ∠ B D E$ ；

(2)、如图 $②$ ，若 $∠ E B D = 2 ∠ E F D$ ，求证： $D F = 2 C D$ ；

(3)、如图 $③$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ .
$①$ 若 $∠ E A F = 90 °$ ，求 $⊙ A$ 的半径长；

$②$ 求 $B E \cdot D E$ 的最大值.

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